搜搜考试网椭圆问题,求解答,要过程.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/10 23:03:32
椭圆问题,求解答,要过程.
已知椭圆M：
（a>0）的一个焦点F（-1,0）,左右定点分别为A,B,经过F的直线l与椭圆M交于C,D两点.记三角形ABD与三角形ABC的面积分别为S1 ,S2 求|S1-S2|的最大值
∵椭圆x^2/a^2＋y^2/3＝1的一个焦点为F（－1,0）,∴c＝1,又c＝√（a^2－b^2）,
∴√（a^2－3）＝1,∴a^2－3＝1,∴a^2＝4.
∴椭圆M的方程是：x^2/4＋y^2/3＝1.
一、当直线l不存在斜率时,l的方程是：x＝－1.
显然,此时C、D关于AB对称,∴此时｜S1－S2｜＝0.
二、当直线l存在斜率时,令斜率为k,则l的方程是：y＝k（x＋1）.
联立：y＝k（x＋1）、x^2/4＋y^2/3＝1,消去y,得：x^2/4＋k^2（x＋1）^2/3＝1,
∴3x^2＋4k^2（x＋1）^2＝12,∴（3＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－12＝0.
∵C、D都在直线y＝k（x＋1）上,
∴可令C、D的坐标分别是（m,k（m＋1））、（n,k（n＋1））.
显然,m、n是方程（3＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－12＝0的两根,
∴由韦达定理,有：m＋n＝－8k^2/（3＋4k^2）.
∵C、D分别在x轴的两侧,∴k（m＋1）、k（n＋1）异号,
考虑到对称性,只需考虑k＞0的情况就可以了.
∴｜S1－S2｜
＝（1/2）｜AB｜｜｜k（m＋1）｜－｜k（n＋1）｜｜
＝（1/2）｜AB｜｜k（m＋1）＋k（n＋1）｜＝（1/2）×8k｜m＋n＋2｜
＝4k｜－8k^2/（3＋4k^2）＋2｜＝8k｜3/（3＋4k^2）｜＝12k/（3＋4k^2）
＝12/（3/k＋4k）.
∵3/k＋4k≧2√［（3/k）（4k）］＝4√3,∴1/（3/k＋4k）≦1/（4√3）,
∴12/（3/k＋4k）≦12/（4√3）＝√3.
∴［12/（3/k＋4k）］的最大值是√3,∴｜S1－S2｜的最大值是√3.
综合上述一、二,得：｜S1－S2｜的最大值是√3.
∴√（a^2－3）＝1,∴a^2－3＝1,∴a^2＝4.
∴椭圆M的方程是：x^2/4＋y^2/3＝1.
一、当直线l不存在斜率时,l的方程是：x＝－1.
显然,此时C、D关于AB对称,∴此时｜S1－S2｜＝0.
二、当直线l存在斜率时,令斜率为k,则l的方程是：y＝k（x＋1）.
联立：y＝k（x＋1）、x^2/4＋y^2/3＝1,消去y,得：x^2/4＋k^2（x＋1）^2/3＝1,
∴3x^2＋4k^2（x＋1）^2＝12,∴（3＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－12＝0.
∵C、D都在直线y＝k（x＋1）上,
∴可令C、D的坐标分别是（m,k（m＋1））、（n,k（n＋1））.
显然,m、n是方程（3＋4k^2）x^2＋8k^2x＋4k^2－12＝0的两根,
∴由韦达定理,有：m＋n＝－8k^2/（3＋4k^2）.
∵C、D分别在x轴的两侧,∴k（m＋1）、k（n＋1）异号,
考虑到对称性,只需考虑k＞0的情况就可以了.
∴｜S1－S2｜
＝（1/2）｜AB｜｜｜k（m＋1）｜－｜k（n＋1）｜｜
＝（1/2）｜AB｜｜k（m＋1）＋k（n＋1）｜＝（1/2）×8k｜m＋n＋2｜
＝4k｜－8k^2/（3＋4k^2）＋2｜＝8k｜3/（3＋4k^2）｜＝12k/（3＋4k^2）
＝12/（3/k＋4k）.
∵3/k＋4k≧2√［（3/k）（4k）］＝4√3,∴1/（3/k＋4k）≦1/（4√3）,
∴12/（3/k＋4k）≦12/（4√3）＝√3.
∴［12/（3/k＋4k）］的最大值是√3,∴｜S1－S2｜的最大值是√3.
综合上述一、二,得：｜S1－S2｜的最大值是√3.