有关椭圆另一题椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1不垂直于X轴的弦AB,当弦AB变动时,弦AB的垂直平分线与X

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/12 04:30:01

有关椭圆另一题
椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1不垂直于X轴的弦AB,当弦AB变动时,弦AB的垂直平分线与X轴的交点为P(m,0),求m的取值范围.

记：椭圆上弦的两点分别为(acosθ,bsinθ),(acost,bsint) (θ≠±t,0≤θ,t≤360)
中点为：(a(cosθ+cost)/2,b(sinθ+sint)/2)
弦的斜率=b(sinθ-sint)/a(cosθ-cost)
弦的垂直平分线斜率k=-a(cosθ-cost)/b(sinθ-sint)
垂直平分线L方程：y-b(sinθ+sint)/2=k(x-a(cosθ+cost)/2)
k代入化简：
b(sinθ-sint)(2y-b(sinθ+sint))=-a(cosθ-cost)(2x-a(cosθ+cost))
P(m,0)代入L得：
b(sinθ-sint)(0-b(sinθ+sint))=-a(cosθ-cost)(2m-a(cosθ+cost))
b^2(sint^2-sinθ^2)=2a(cost-cosθ)m+a^2(cosθ^2-cost^2)
2a(cost-cosθ)m=b^2(sint^2-sinθ^2)+a^2(cost^2-cosθ^2)
=b^2(cosθ^2-cost^2)+a^2(cost^2-cosθ^2)
=(a^2-b^2) (cost^2-cosθ^2)
m=(a^2-b^2)(cosθ+cost)/2a
∴|m|