什么是燕尾定理?浏览已解答问题时看到的,请老师给予解答。
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/26 17:12:10
什么是燕尾定理?
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解题思路: 燕尾定理
解题过程:
燕尾定理,因此图类似燕尾而得名,是一个关于三角形的定理(如图△ABC,D、E、F为BC、CA、AB 上的点,满足AD、BE、CF 交于同一点O)。
S△ABC中,S△AOB:S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD:CD;
同理,S△AOC:S△BOC=S△AFO:S△BFO=AF:BF;
S△BOC:S△BOA=S△CEO:S△AEO=EC:AE。
编辑本段证法 证法1
下面的是第一种方法:利用合比性质
∵△ABD与△ACD同高
∴S△ABD:S△ACD=BD:CD
同理,S△OBD:S△OCD=BD:CD
利用分比性质,得
S△ABD-S△OBD:S△ACD-S△OCD=BD:CD
即S△AOB:S△AOC=BD:CD
命题得证。
证法2
下面的是第二种方法:相似三角形法
证法1图
已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。
求证:AE=CE 证明:
如图,过点O作MN∥BC,交AB于点M,交AC于点N;
过点O作PQ∥AB,交BC于点P,交AC于点Q。
∵MN∥BC
∴△AMO∽△ABD,△ANO∽△ACD
∴MO:BD=AO:AD,NO:CD=AO:AD
∴MO:BD=NO:CD
∵AD是△ABC的一条中线
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ∥AB
∴△CPO∽△CBF,△CQO∽△CAF
∴PO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CF
∴PO:BF=QO:AF
∵CF是△ABC的一条中线
∴AF=BF
∴PO=QO
∵MO=NO,∠MOP=∠NOQ,PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP∥AC(内错角相等,两条直线平行)
∴△BMR∽△BAE(R为MP与BO的交点),△BPR∽△BCE
∴MR:AE=BR:BE,PR:CE=BR:BE
∴MR:AE=PR:CE
∵MN∥BC,PQ∥AB
∴四边形BMOP是平行四边形
∴MR=PR(平行四边形的对角线互相平分)
∴AE=CE
命题得证。
最终答案:略
解题过程:
燕尾定理,因此图类似燕尾而得名,是一个关于三角形的定理(如图△ABC,D、E、F为BC、CA、AB 上的点,满足AD、BE、CF 交于同一点O)。
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/fe/6fea5b78b0735ca963519e3d0a9a1b5d.jpg)
S△ABC中,S△AOB:S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD:CD;
同理,S△AOC:S△BOC=S△AFO:S△BFO=AF:BF;
S△BOC:S△BOA=S△CEO:S△AEO=EC:AE。
编辑本段证法 证法1
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/a2/ba22b413db69cb363d7a40936259feae.jpg)
下面的是第一种方法:利用合比性质
∵△ABD与△ACD同高
∴S△ABD:S△ACD=BD:CD
同理,S△OBD:S△OCD=BD:CD
利用分比性质,得
S△ABD-S△OBD:S△ACD-S△OCD=BD:CD
即S△AOB:S△AOC=BD:CD
命题得证。
证法2
下面的是第二种方法:相似三角形法
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/f9/0f95967863cdbe3378320f23516b6a0f.jpg)
已知:△ABC的两条中线AD、CF相交于点O,连接并延长BO,交AC于点E。
求证:AE=CE 证明:
如图,过点O作MN∥BC,交AB于点M,交AC于点N;
过点O作PQ∥AB,交BC于点P,交AC于点Q。
∵MN∥BC
∴△AMO∽△ABD,△ANO∽△ACD
∴MO:BD=AO:AD,NO:CD=AO:AD
∴MO:BD=NO:CD
∵AD是△ABC的一条中线
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ∥AB
∴△CPO∽△CBF,△CQO∽△CAF
∴PO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CF
∴PO:BF=QO:AF
∵CF是△ABC的一条中线
∴AF=BF
∴PO=QO
∵MO=NO,∠MOP=∠NOQ,PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP∥AC(内错角相等,两条直线平行)
∴△BMR∽△BAE(R为MP与BO的交点),△BPR∽△BCE
∴MR:AE=BR:BE,PR:CE=BR:BE
∴MR:AE=PR:CE
∵MN∥BC,PQ∥AB
∴四边形BMOP是平行四边形
∴MR=PR(平行四边形的对角线互相平分)
∴AE=CE
命题得证。
最终答案:略