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根号(a1+b1)^2+(a2+b2)^2+.+(an+bn)^2

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/30 05:36:21
根号(a1+b1)^2+(a2+b2)^2+.+(an+bn)^2
根号(a1+b1)^2+(a2+b2)^2+.+(an+bn)^2
原不等式为:√[(a1+b1)²+(a2+b2)²+.+(an+bn)²]≤√(a1²+a2²+.an²)+√(b1²+b2²+.bn²)
左右两边非负,且左边根号内的内容也非负,故两边同时平方,原不等式即证:
(a1+b1)²+(a2+b2)²+.+(an+bn)²≤(a1²+a2²+.an²)+(b1²+b2²+.bn²)+2√[(a1²+a2²+.an²)·(b1²+b2²+.bn²)]
即证:
(a1²+a2²+.an²)+(b1²+b2²+.bn²)+(2a1·b1+2a2·b2+…+2an·bn)≤(a1²+a2²+.an²)+(b1²+b2²+.bn²)+2√[(a1²+a2²+.an²)(b1²+b2²+.bn²)]
即证:
(a1·b1+a2·b2+…+an·bn)≤√[(a1²+a2²+.an²)(b1²+b2²+.bn²)]
即证:
(a1·b1+a2·b2+…+an·bn)²≤(a1²+a2²+.an²)(b1²+b2²+.bn²)
根据柯西不等式,上式显然成立.