线性代数有关基础解系的证明

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/25 13:57:01

线性代数有关基础解系的证明
已知x1,x2,x3是齐次方程组AX=0的一个基础解系,记n1=x1-x2,n2=2x2+x3,n3=
-x3+3x1,问n1,n2,n3为什么可以作为AX=0的基础解系.

由题意,Ax=0的基础解系里面有三个向量.
首先,n1,n2,n3是Ax=0的三个不同的解.
其次,n1,n2,n3线性无关.（假设k1n1+k2n2+k3n3=0,整理得(k1+3k3)x1+(-k1+2k2)x2+(k2-k3)x3=0,因为x1,x2,x3线性无关,所以k1+3k3=-k1+2k2=k2-k3=0,所以k1=k2=k3=0）
所以,n1,n2,n3是Ax=0的基础解系.

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