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证明：f(x)=x*cos(x)不是周期函数

来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/26 10:23:10
证明：f(x)=x*cos(x)不是周期函数
证明：假设y=xcosx是周期函数,
因为周期函数有f(x+T)=f(x)
xcosx=（x+T)cos(x+T)=xcosx*cosT-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT
所以cosT=1 T=kπ/2
-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT=0
-xsinx*sinT-Tsinx*sinT=0
(x+T)sinx*sinT=0
只能是sinT=0 T=kπ和T=kπ/2矛盾
所以不是周期函数
这里的“所以cosT=1 T=kπ/2” 看不懂,是怎么的出来的,
证明：f(x)=x*cos(x)不是周期函数
可以用反证法证明.
假设函数f(x)= xcosx存在正周期T>0
则 (x+T)cos(x+T)= xcosx对一切x成立
取x=0于是TcosT= 0,所以T=π/2+kπ：
再取x=π/2于是(T+π/2)cos(T+π/2)=0所以T=nπ或-π/2
以上交集说明T=-π/2
然后随便找个值验证一下T=-π/2不成立.
所以无T
非周期函数
再问： TcosT= 0，所以T=π/2+kπ： 这个是怎么得到的。。。
再答： T=0或cosT=0,而T>0,所以只有cosT=0,就是T=π/2+kπ，根据y=cosx这个周期函数的特点
再问： 明白了。那，我上面的那种方法的：“cosT=1 T=kπ/2“是不是有问题。
再答： 我不觉得能从等式恒成立，判断出cosT=1； T=0可使等式恒成立，因为恒成立就是与x值无关。 还有就是 cosT=1，可推出T=2kπ，并非 T=kπ/2
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