证明:椭圆的一个焦点向向M发射的光线的反射必过另一个焦点,
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/17 23:54:46
证明:椭圆的一个焦点向向M发射的光线的反射必过另一个焦点,
其中M是椭圆上的一点,椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,急,
其中M是椭圆上的一点,椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,急,
![证明:椭圆的一个焦点向向M发射的光线的反射必过另一个焦点,](/uploads/image/z/19072753-25-3.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%90%91%E5%90%91M%E5%8F%91%E5%B0%84%E7%9A%84%E5%85%89%E7%BA%BF%E7%9A%84%E5%8F%8D%E5%B0%84%E5%BF%85%E8%BF%87%E5%8F%A6%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%84%A6%E7%82%B9%2C)
证明:
①假设椭圆x²/a² + y²/b² = 1 有任一点M(x,y),M点法线与F1M夹角 如果等于M点法线与F2M夹角,则满足光的反射定律,下面证明这两个夹角相等.
②因为法线与该点切线垂直,故此,先求切线斜率:
(要用到微分的知识)
对x²/a² + y²/b² = 1 两端微分:
2x dx/a² + 2y dy/b² = 0
dy/dx = - b²x/a²y
这是切线的斜率,法线与切线垂直,所以法线斜率k=a²y/b²x .
③将x-o-y平面看成是复平面,则法线N上单位复数表示为n,如果F1M上的单位复数是L1,直线F2M上的单位复数是L2,根据复数相乘规则,复数角度相加:
L1 * L2 ---(如果L1的角度是α,L2的角度是β,L1 *L2的角度 = α + β)
n² ---(如果n的角度是γ,则n²的角度就是2γ)
先在法线N上截取一个复数(模大小不影响方向):N=b²x + a²y.i
N²
=(b²x + a²y.i)²
=b^4 * x² - a^4 * y² + 2a²b²xy.i
=[(b^4 * x² + a²b²y² ) - a²b²y²] - [a^4 * y² + a²b²x²] + a²b²x² + 2a²b²xy.i ---- 配项
=b²(b²x² + a²y²) - a²b²y² - a²(a²y² + b²x²) + a²b²x² + 2a²b²xy.i
=b²*a²b² - a²b²y² - a²*a²b² + a²b²x² + 2a²b²xy.i
N²/a²b² = b² -a² + (x² -y² + 2xy.i)
=(x + y.i)² -c²
=(x + y.i + c)(x + y.i -c)
点M的复数表示是 x + y.i,x + y.i -c 代表矢量F1M,x + y.i + c代表矢量F2M
因此 N²/a²b² = K * L1 * L2 (K是实数)
法线单位矢量 n² = L1 * L2
2γ = α + β
γ = (α + β)/2
法线是∠F1MF2的角平分线.
---完---
①假设椭圆x²/a² + y²/b² = 1 有任一点M(x,y),M点法线与F1M夹角 如果等于M点法线与F2M夹角,则满足光的反射定律,下面证明这两个夹角相等.
②因为法线与该点切线垂直,故此,先求切线斜率:
(要用到微分的知识)
对x²/a² + y²/b² = 1 两端微分:
2x dx/a² + 2y dy/b² = 0
dy/dx = - b²x/a²y
这是切线的斜率,法线与切线垂直,所以法线斜率k=a²y/b²x .
③将x-o-y平面看成是复平面,则法线N上单位复数表示为n,如果F1M上的单位复数是L1,直线F2M上的单位复数是L2,根据复数相乘规则,复数角度相加:
L1 * L2 ---(如果L1的角度是α,L2的角度是β,L1 *L2的角度 = α + β)
n² ---(如果n的角度是γ,则n²的角度就是2γ)
先在法线N上截取一个复数(模大小不影响方向):N=b²x + a²y.i
N²
=(b²x + a²y.i)²
=b^4 * x² - a^4 * y² + 2a²b²xy.i
=[(b^4 * x² + a²b²y² ) - a²b²y²] - [a^4 * y² + a²b²x²] + a²b²x² + 2a²b²xy.i ---- 配项
=b²(b²x² + a²y²) - a²b²y² - a²(a²y² + b²x²) + a²b²x² + 2a²b²xy.i
=b²*a²b² - a²b²y² - a²*a²b² + a²b²x² + 2a²b²xy.i
N²/a²b² = b² -a² + (x² -y² + 2xy.i)
=(x + y.i)² -c²
=(x + y.i + c)(x + y.i -c)
点M的复数表示是 x + y.i,x + y.i -c 代表矢量F1M,x + y.i + c代表矢量F2M
因此 N²/a²b² = K * L1 * L2 (K是实数)
法线单位矢量 n² = L1 * L2
2γ = α + β
γ = (α + β)/2
法线是∠F1MF2的角平分线.
---完---
椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆
椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台
椭圆的一个光学性质为:光线由一个焦点射出经椭圆壁反射后必然经过另一个焦点.现有
为什么从椭圆中的一个焦点发出的一条直线经过椭圆反射都经过另一个焦点呢?
通过焦点的光线经过凸透镜后方向不变对吗
如何证明点光源照向平面上球体的阴影是以球心对平面的垂直投影为一个焦点的椭圆
过凹透镜焦点的光线怎么折射?
过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0),其长轴长为4,则另一个焦点的轨迹方程为
根据抛物线的光学原理:一水平光线射到抛物线上一点,经抛物线反射后,反射光线必过焦点.然后求解此题:抛物线y2=4x上有两
怎么证明椭圆通径是过椭圆焦点最短的弦
平行于向量(1,2)的光线,从中心在原点的椭圆的焦点F①(-1,0)射到椭圆上一点M,被椭圆反射后经过另一点F②和点P(
过椭圆4x的平方+2y的平方=1的一个焦点F1的直线与椭圆相较于A,B两点,则A,B与椭圆的另一个焦点F2构成的三角