点到直线的最值问题？

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/12 17:15:22

在直线L：3X-Y-1=0上求点P使得（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大？（2）P到A（4，1）和B（3，4）的距离之和最小？

解题思路：（1）求出点B关于直线的对称点B\',则直线AB\'与已知直线的交点即是所求。（主要用到三角形中两边之差小于第三边）（2）求出点关于直线的对称点B\',则直线AB\'与已知直线的交点即是所求。（主要用到三角形中两边之和大于第三边）
解题过程：
解：(1)设B关于直线l的对称点为B'（a,b)，设点P'是直线l上不同于点P的任一点，则|P'A|-|P'B|=|P'A|-|P'B'|<|AB'|而|AB'|=|PA|-|PB'|=|PA|-|PB|,所以|AB'|就是直线L：3X-Y-1=0上到A（4，1）和B（0，4）的距离之差的最大值，则直线AB'与已知直线的交点P即为所求。由题知直线BB'垂直于直线L。∴k_BB'K_L=-1,即3×（b-4)/2=-1即a+3b-12=0…①又线段BB'的中点坐标为（a/2,(4+b)/2),且在直线L上，则3×（a/2）-(b+4)/2-1=0j即3a-b-6=0…②解①②得，a=3,b=3, ∴B’(3,3)，∴AB’的方程为2x+y-9=0
由2x+y-9=0与3X-Y-1=0解得x=2,y=5,即L与AB’的交点为P（2，5）。∴P（2，5）即为所求。
（2）设B关于直线l的对称点为B’（a,b)，设点P'是直线l上不同于点P的任一点，则|P'A|+|P'B|=|P'A|+|P'B'|>|AB'|而|AB'|=|PA|+|PB'|=|PA|+|PB|,所以|AB'|就是直线L：3X-Y-1=0上到A（4，1）和B（3，4）的距离之和的最小值，则直线AB'与已知直线的交点P即为所求。
由题知直线BB'垂直于直线L。∴k_BB'K_L=-1,即3×（b-4)/2=-1即a+3b-12=0…③又线段BB'的中点坐标为（（a+3）/2,(4+b)/2),且在直线L上，则3×（a+3）/2-(b+4)/2-1=0即3a-b+3=0…④解③④得a=3/5,b=24/5, ∴AB’的方程为19x+17y-93=0由19x+17y-93=0与3X-Y-1=0解得x=11/7,y=26/7, 即L与AB’的交点为P（11/7，26/7）。∴P（11/7，26/7）即为所求.
你再结合图形来理解这个题目会更有帮助。祝你每天都有大的进步!!
最终答案：略

两点到线的最短距离两个点在直线的一边,位置不一,问类似于从A点取水运到B处最短距离的问题.是怎么画的? 直线中的最值问题高二数学题：关于点到直线的距离公式,直线与方程的问题数学椭圆上的电到直线的最短距离问题. 点到直线的距离从直线外一点到直线的线段中,垂直线段最短,这条垂线叫做点到直线的（）解析几何里的直线问题1.已知一直线方程与直线外一点坐标,求该点到直线距离.2.已知一直线方程与一点坐标,求该点到直线的垂高三数学题：关于极坐标,点到直线的距离公式的问题从点到直线的所有连线中,（）最短；（）之间的距离处处相等.如果两条直线相交成（直角）,这两条直线过直线外一点A作已知直线的平行线,在作B点到已知直线的最短线段,怎样画图已知抛物线x^2=y上的点到直线y=2x+t的最短距离是根号5,求t的值求椭圆x^2+y^2/9=1上的点P到直线4x-y+10=0的距离的最值