搜搜考试网月光下的难题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/06 15:53:20
三棱锥P-ABC的各个面的面积，分别为S三角形ABC=6，S三角形PAB=3，S三角形PBC=4,S三角形PCA=5且各侧面与底面所成的二面角相等求体积 （要过程和解题思路）
解题思路： 考查立体几何中的射影定理
解题过程：
由于三棱锥P-ABC各侧面与底面二面角相等，推出三棱锥P-ABC各侧面高相等，且底面三角形ABC垂距相等，垂心就是P点在底面三角形ABC的投影。
由于△PAB=3,S△PBC=4,S△PCA=5,
所以三角形三边比AB比BC比CA=3比4比5
由勾股定理知这个底边是直角三角形。
可设三角形ABC各边AB=3t,BC=4t,CA=5t
而S△ABC=6=1/2（3t*4t）解得t=1,所以各边的长AB=3,BC=4,CA=5。
各侧面三角形高可随便找一个侧面三角形面积假设△PAB求，则S△PAB=1/2AB*侧面高=3， 解得侧面高=2（式中AB=3，S△PAB=3）
求直角三角形ABC的垂距（作三棱锥的高，垂足到直角三角形三遍的距离叫垂距）
S△ABC=1/2（AB+BC+CA)*垂距=6，解得垂距=12/（3+4+5）=1
求三棱锥P-ABC的高=根号（2的平方-1的平方）=根号3（侧面高=2，垂距=1）
故所求三棱锥P-ABC体积=1/3*根号3*S△ABC=1/3*根号3*6=2倍根号3 有问题请和我联系，谢谢合作，祝学习进步
最终答案：略
解题过程：
由于三棱锥P-ABC各侧面与底面二面角相等，推出三棱锥P-ABC各侧面高相等，且底面三角形ABC垂距相等，垂心就是P点在底面三角形ABC的投影。
由于△PAB=3,S△PBC=4,S△PCA=5,
所以三角形三边比AB比BC比CA=3比4比5
由勾股定理知这个底边是直角三角形。
可设三角形ABC各边AB=3t,BC=4t,CA=5t
而S△ABC=6=1/2（3t*4t）解得t=1,所以各边的长AB=3,BC=4,CA=5。
各侧面三角形高可随便找一个侧面三角形面积假设△PAB求，则S△PAB=1/2AB*侧面高=3， 解得侧面高=2（式中AB=3，S△PAB=3）
求直角三角形ABC的垂距（作三棱锥的高，垂足到直角三角形三遍的距离叫垂距）
S△ABC=1/2（AB+BC+CA)*垂距=6，解得垂距=12/（3+4+5）=1
求三棱锥P-ABC的高=根号（2的平方-1的平方）=根号3（侧面高=2，垂距=1）
故所求三棱锥P-ABC体积=1/3*根号3*S△ABC=1/3*根号3*6=2倍根号3 有问题请和我联系，谢谢合作，祝学习进步
最终答案：略