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已知f(x)=e x +ax 2 -bx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(e+1)x-y-2=0,

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/04 08:06:50
已知f(x)=e x +ax 2 -bx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(e+1)x-y-2=0,
(I)f′(x)=e x +2ax-b,由已知,切线斜率为f′(1)=e+2a-b=e+1,①又点(1,f(1))在切线上,所以(e+1)-(e+a-b)-2=0,②
①②联立解得a=2,b=3,所以f(x)=e x +2x 2 -3x
(II)由(I)得:f(x)=e x +2x 2 -3x
从而f(x)≥
5
2 x 2 +(m-3)x+
1
2 等价于
e x
x -
1
2 x-
1
2x ≥m
令g(x)=
e x
x -
1
2 x-
1
2x 则g′(x)=
x e x - e x
x 2 -
1
2 +
1
2 x 2 =
(x-1) (2e x -x-1)
2x 2
由于(2e x -x-1)′=2e x -1>0(x≥0)所以(2e x -x-1)min=1>0
当x>1时,g′(x)>0,当1>x≥0时,g′(x)<0,所以g(x)在[0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
g(x)min=g(1)=e-1,所以m≤e-1.