如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E在线段BD上，点F在线段B1C上．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/18 12:03:17

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E在线段BD上，点F在线段B₁C上．
（Ⅰ）若E、F分别为线段BD，B₁C的中点，求直线EF与直线C₁D₁所成的角；
（Ⅱ）若EF⊥BD，EF⊥B₁C，求线段EF的长度．

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E在线段BD上，点F在线段B1C上．

（Ⅰ）以{

DA，

DC，

DD1}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则C₁（0，2，2）D₁（0，0，2），E（1，1，0），F（1，2，1），
所以

C1D1＝(0，−2，0)，

EF＝(0，1，1)，…（4分）
cos＜

C1D1，

EF＞＝

C1D1•

EF
|

C1D1||

EF|＝
−2
2
2＝−

2
2…（6分）
又因为直线EF与直线C₁D₁所成的角范围为(0，
π
2]
所以直线EF与直线C₁D₁所成角为
π
4…（8分）
（Ⅱ）设E（m，m，0），F（n，2，n），
则

EF＝(n−m，2−m，n)，
因为D（0，0，0），B（2，2，0），B₁（2，2，2），C（0，2，0）
所以

DB＝(2，2，0)，

CB1＝(2，0，2)…（10分）
由题意得，

EF•

DB＝0，

EF•

CB1＝0，
即

2(n−m)+2(2−m)＝0
2(n−m)+2n＝0，解得

m＝
4
3
n＝
2
3…（12分）
所以E(
4
3，
4
3，0)，F(
2
3，2，
2
3)，所以

EF＝(−
2
3，
2
3，
2
3)，…（14分）|

EF|＝
(−
2
3)2+(
2
3)2+(
2
3)2＝
2
3
3
即线段EF的长度为
2
3
3…（16分）

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在线段A1B上,则|AP|+|D1P|的最小值为? 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E.F是BD,B1C上的点且BE=B1F=2/3B1C,求EF与CD所成角已知正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1,点P在线段BD1上.当∠APC最大时,三棱锥P—ABC的体积为 (有图)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,点M,N分别在线段AC,A1D上如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E．如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥平面AA1B1B．（2012•山东）如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知F是线段BD的中点,(1)试在棱D1D上确定一点E,使得EF⊥B1C 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=22，如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F=2BF． 28．如图,在△ABC中,AB＝AC＝1,点D、E在直线BC上运动,点D在线段BC的左侧,点E在线段BC的右侧,设BD＝