超级超大难题:一个竹竿折成3段,组成锐角三角形的概率大?还是组成钝角三角形大?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/12 22:18:27
超级超大难题:一个竹竿折成3段,组成锐角三角形的概率大?还是组成钝角三角形大?
为什么?
为什么?
现将江边枫荻的解法一补充完整,求出最终答案:
设竹竿全长为1.建立空间直角坐标系OXYZ.用此坐标系中的点的坐标表示竹竿分成的三段的长,则有
x+y+z=1.①
其中,x>0,y>0,z>0.
式①表示一平面.设该平面交X轴于A,交Y轴于B,交Z轴于C.连AB、BC、CA.可知:A、B、C的坐标分别为(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1);OA=OB=OC=1;AB=BC=CA=√2;△ABC的面积=(√3)/2.
除了边上的点之外,△ABC内所有点的坐标都满足且仅有它们能满足x>0,y>0,z>0和式①.
x、y、z能构成三角形,须满足
x+y>z,y+z>x,z+x>y.②
取如下三个平面:
x+y=z,y+z=x,z+x=y.③
设这三个平面与△ABC的交线分别为直线α、β、γ.可推知:α、β与CA的交点都是(1/2,0,1/2),β、γ与AB的交点都是(1/2,1/2,0),γ、α与BC的交点都是(0,1/2,1/2).此三点分别以D、E、F表示.D、E、F恰是△ABC三边的中点.因此,△DEF的面积是△ABC的面积的1/4,即等于(√3)/8.
除了边上的点之外,△DEF内所有点的坐标都满足且仅有它们能满足条件②.
∴将一根竹竿任意折成三段,能组成三角形的概率为
△DEF的面积/△ABC的面积=1/4.
x、y、z能构成钝角三角形,须满足
x^2+y^2<z^2,y^2+z2<x^2,z^2+x^2<y^2.④
x、y、z能构成锐角三角形,须满足
x^2+y^2>z^2,y^2+z2>x^2,z^2+x^2>y^2.⑤
取如下三个曲面:
x^2+y^2=z^2,y^2+z2=x^2,z^2+x^2=y^2.⑥
设这三个曲面与△DEF的交线分别为曲线δ、ε、ζ.
将原空间直角坐标系进行一次平移和两次旋转,得到新坐标系,仍以OXYZ表示.新的原点O在FD的中点,X轴的正向为射线OD的方向,Y轴的正向为射线OE的方向,Z轴垂直于△DEF所在平面.这样就把空间问题变成了平面z=0上的问题.
在平面z=0上,
D:(√2/4,0),
E:(0,√6/4),
F:(-√2/4,0);
DE:x+(√3/3)y=√2/4,
EF:x-(√3/3)y=-√2/4,
FD:y=0;
δ:6x^2+(3√6)y-2y^2=3/4,δ过F、D,
ε:(3√2)x+(4√3)xy+(2√6)y-4y^2=3/2,ε过D、E,
ζ:(3√2)x+(4√3)xy-(2√6)y+4y^2=-3/2,ζ过E、F.
D是δ与ε的唯一交点,E是ε与ζ的唯一交点,F是ζ与δ的唯一交点.
用积分方法可求得δ与FD包围的面积、ε与DE包围的面积、ζ与EF包围的面积,它们均为:
S=[(√3)/8](3=12•ln2-8-4•ln2).
∴对于能构成三角形的三段竹竿,能组成钝角三角形的概率和能组成锐角三角形的概率分别为
P钝=3S/△DEF的面积=9-12•ln2≈0.682.
P锐=1-P锐=12•ln2-8≈0.318.
对于任意折成的三段竹竿,能组成钝角三角形的概率和能组成锐角三角形的概率分别为
P′钝=P钝×1/4=9/4-3•ln2≈0.171,
P′锐=P锐×1/4=3•ln2-2≈0.079.
∴组成钝角三角形的概率大.
设竹竿全长为1.建立空间直角坐标系OXYZ.用此坐标系中的点的坐标表示竹竿分成的三段的长,则有
x+y+z=1.①
其中,x>0,y>0,z>0.
式①表示一平面.设该平面交X轴于A,交Y轴于B,交Z轴于C.连AB、BC、CA.可知:A、B、C的坐标分别为(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1);OA=OB=OC=1;AB=BC=CA=√2;△ABC的面积=(√3)/2.
除了边上的点之外,△ABC内所有点的坐标都满足且仅有它们能满足x>0,y>0,z>0和式①.
x、y、z能构成三角形,须满足
x+y>z,y+z>x,z+x>y.②
取如下三个平面:
x+y=z,y+z=x,z+x=y.③
设这三个平面与△ABC的交线分别为直线α、β、γ.可推知:α、β与CA的交点都是(1/2,0,1/2),β、γ与AB的交点都是(1/2,1/2,0),γ、α与BC的交点都是(0,1/2,1/2).此三点分别以D、E、F表示.D、E、F恰是△ABC三边的中点.因此,△DEF的面积是△ABC的面积的1/4,即等于(√3)/8.
除了边上的点之外,△DEF内所有点的坐标都满足且仅有它们能满足条件②.
∴将一根竹竿任意折成三段,能组成三角形的概率为
△DEF的面积/△ABC的面积=1/4.
x、y、z能构成钝角三角形,须满足
x^2+y^2<z^2,y^2+z2<x^2,z^2+x^2<y^2.④
x、y、z能构成锐角三角形,须满足
x^2+y^2>z^2,y^2+z2>x^2,z^2+x^2>y^2.⑤
取如下三个曲面:
x^2+y^2=z^2,y^2+z2=x^2,z^2+x^2=y^2.⑥
设这三个曲面与△DEF的交线分别为曲线δ、ε、ζ.
将原空间直角坐标系进行一次平移和两次旋转,得到新坐标系,仍以OXYZ表示.新的原点O在FD的中点,X轴的正向为射线OD的方向,Y轴的正向为射线OE的方向,Z轴垂直于△DEF所在平面.这样就把空间问题变成了平面z=0上的问题.
在平面z=0上,
D:(√2/4,0),
E:(0,√6/4),
F:(-√2/4,0);
DE:x+(√3/3)y=√2/4,
EF:x-(√3/3)y=-√2/4,
FD:y=0;
δ:6x^2+(3√6)y-2y^2=3/4,δ过F、D,
ε:(3√2)x+(4√3)xy+(2√6)y-4y^2=3/2,ε过D、E,
ζ:(3√2)x+(4√3)xy-(2√6)y+4y^2=-3/2,ζ过E、F.
D是δ与ε的唯一交点,E是ε与ζ的唯一交点,F是ζ与δ的唯一交点.
用积分方法可求得δ与FD包围的面积、ε与DE包围的面积、ζ与EF包围的面积,它们均为:
S=[(√3)/8](3=12•ln2-8-4•ln2).
∴对于能构成三角形的三段竹竿,能组成钝角三角形的概率和能组成锐角三角形的概率分别为
P钝=3S/△DEF的面积=9-12•ln2≈0.682.
P锐=1-P锐=12•ln2-8≈0.318.
对于任意折成的三段竹竿,能组成钝角三角形的概率和能组成锐角三角形的概率分别为
P′钝=P钝×1/4=9/4-3•ln2≈0.171,
P′锐=P锐×1/4=3•ln2-2≈0.079.
∴组成钝角三角形的概率大.
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