△ABC中,a、b、c是三内角∠A、∠B、∠C所对的边,求证：a^2=b(b+c)是∠A=2∠B的充要条件.

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/01 06:09:12

证明：先证a²=b(b+c)是∠A=2∠B的充分条件.
由a²=b²+c²-2bccosA得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc),又由a²=b(b+c)得
c=(a²-b²)/b,代入cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)得
cosA=[b²+(a²-b²)²/b²-a²]/[2(a²-b²)]=(a²-2b²)/(2b²)
=a²/(2b²)-1=sin²A/(2sin²B)-1=(1-cos²A)/(1-cos2B)-1,即1+cosA=(1-cos²A)/(1-cos2B),1=(1-cosA)/(1-cos2B),
1-cosA=1-cos2B,cosA=cos2B,A=2B或A=2π-2B.若A=2π-2B,则A+2B=2π,A/2+B=π,A+B＞π,故A=2π-2B不合题意,所以A=2B.
再证a²=b(b+c)是∠A=2∠B的必要条件.
若A=2B,则sinA=sin2B=2sinBcosB,cosB=sinA/(2sinB)=a/(2b),又cosB=(a²+c²-b²)/(2ac),所以a/(2b)=(a²+c²-b²)/(2ac),b(a²+c²-b²)/(a²c)=1,
b(a²+c²-b²)=a²c,a²b+bc²-b²b=a²c,a²b-a²c=b²b-bc²,a²(b-c)=b(b²-c²),
a²=b(b+c).

三角形ABC中,a、b、c是三内角A.B.C所对的边,求证：a^2=b(b+c)是A+2B的充要条件设a,b,c,分别为三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边,求证a^2=b(b-c) 的充要条件是A=2B 在三角形ABC中,三个内角所对的边分别是a,b,c,且a的平方=b(b+c).求证A=2B △ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,求证:a^2=b(b+c)的充要条件是A=2B 在△ABC中,三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c且2bCosC=2a-c 求SinASinC 在三角形ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,C=2B.求证c^2-b^2=ab 三角形ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,如果a²=b(b+c),求证：A=2B 在三角形ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,C=2B ,求证：c^2-a^2=ab 在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，若∠A+∠B=120°，求证：ab+c+ba+c＝1 在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b=1,c=2 在三角形ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c已知B=C,2b=根号3a