搜搜考试网求解一道关于球与其他的几何体的切,接的数学问题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/12 13:54:51
求解一道关于球与其他的几何体的切,接的数学问题
在棱长为1的正方体内,有两圆相外切,并且又分别与正方体相切.
（1）求两圆半径之和；
（2）球的半径是多少时,两球体积之和最小.
要求：方法易懂,配图,过程详细
在棱长为1的正方体内,有两圆相外切,并且又分别与正方体相切.
（1）求两圆半径之和；
（2）球的半径是多少时,两球体积之和最小.
要求：方法易懂,配图,过程详细
(1)√3r1+r1+r2+√3r2=√3
r1+r2= √3/( √ 3 +1)=(3-√3)/2
(2)
设r1+r2=k
V=(4/3)π*r1^3+(4/3)π*r2^3=(4/3)π*(r1^3+r2^3)
=(4/3)π*(r1+r2)(r1^2-r1r2+r2^2)
=(4/3)π*(r1+r2)[(r1+r2)^2-3r1*r2]
=(4/3)π*k(k^2-3r1*r2)
而k=r1+r2>=2*(r1*r2)^(1/2)
k^2>=4r1*r2
r1*r2=(4/3)π*k(k^2-3*(1/4)k^2)
=(1/3)π*k^3
当r1=r2=k/2=(3-√3)/4,V最小
再问： 求第一问的详解 那个√3（r1+r2）是哪来的 最好配图，好说些
再答：
再问： 我想问你根号3咋弄的
再答： 棱长为一（也就是正方体各边为一），故AB=1,由勾股定理BC=√2，知AB,BC再由勾股定理得AC=√3
再问： “AO1=√3r？AO2=√3R？”
再答： 如上图知AC=√3棱长（正方体中），现在棱长换成圆半径而已，故……
r1+r2= √3/( √ 3 +1)=(3-√3)/2
(2)
设r1+r2=k
V=(4/3)π*r1^3+(4/3)π*r2^3=(4/3)π*(r1^3+r2^3)
=(4/3)π*(r1+r2)(r1^2-r1r2+r2^2)
=(4/3)π*(r1+r2)[(r1+r2)^2-3r1*r2]
=(4/3)π*k(k^2-3r1*r2)
而k=r1+r2>=2*(r1*r2)^(1/2)
k^2>=4r1*r2
r1*r2=(4/3)π*k(k^2-3*(1/4)k^2)
=(1/3)π*k^3
当r1=r2=k/2=(3-√3)/4,V最小
再问： 求第一问的详解 那个√3（r1+r2）是哪来的 最好配图，好说些
再答：
再问： 我想问你根号3咋弄的
再答： 棱长为一（也就是正方体各边为一），故AB=1,由勾股定理BC=√2，知AB,BC再由勾股定理得AC=√3
再问： “AO1=√3r？AO2=√3R？”
再答： 如上图知AC=√3棱长（正方体中），现在棱长换成圆半径而已，故……