设和是群的两个子群,H1H2={h1*h2|h1属于H1,h2属于H2}.

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/01 06:21:56

设和是群的两个子群,H1H2={h1*h2|h1属于H1,h2属于H2}.
证是群的子群的充要条件为H1H2=H2H1

设H1H2=H2H1,只需证对任意a,b属于有a*b^(-1)属于.
由定义知,存在a1,b1属于和a2,b2属于使a=a1a2,b=b1b2.
那么,b^(-1)=b2^(-1)*b1^(-1),由于和都是子群,所以b1^(-1)属于,b2^(-1)属于.
这样的话,a*b^(-1)=a1*a2*b2^(-1)*b1^(-1).由于a2和b2^(-1)都属于H2,所以a2*b2^(-1)也属于H2,记为c.又因为H1H2=H2H1,必存在e,f分别属于H2,H1,使a1*c=e*f,这样的话
a*b^(-1)
=a1*a2*b2^(-1)*b1^(-1)
=a1*c*b1^(-1)
=e*f*b1^(-1)
又因为f和b1^(-1)都属于H1,所以f*b1^(-1)属于H1,e属于H2,所以a*b^(-1)=e*f*b1^(-1)属于H2H1.又因为H1H2=H2H1,所以a*b^(-1)属于H1H2,所以是群的子群.
设是群的子群.设p=a*b为一个H2H1集合中的元素,a属于H2,b属于H1.这样的话,a^(-1)和b^(-1)也分别属于H2和H1,于是p^(-1)=b^(-1)*a^(-1)属于H1H2.又因为是群的子群,所以p=(p^(-1))^(-1)也属于H1H2,于是H1H2包含H2H1.另一个方向的包含关系可以将上述推理反向而得到.结论就是H1H2=H2H1
证毕.

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