搜搜考试网问数论倒数（逆）的运算性质
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/03 11:25:23
问数论倒数（逆）的运算性质
若ax≡1（mod m）,by≡1（mod m）,是不是一定有（a+b）（x+y）≡1（mod m）?
如果不是,那么成立条件是什么?
我表述的也不是太清楚。
原始式子是这样的：
这个加法为什么可以做呢？
原题见于《奥数教程.高三年级》（第五版·余红兵 编著）103页例4
若ax≡1（mod m）,by≡1（mod m）,是不是一定有（a+b）（x+y）≡1（mod m）?
如果不是,那么成立条件是什么?
我表述的也不是太清楚。
原始式子是这样的：
这个加法为什么可以做呢？
原题见于《奥数教程.高三年级》（第五版·余红兵 编著）103页例4
不是你所描述的那样.
ax≡1（mod m）表示的是 ax 除以m,余数 为1.
比如 2*4/7 的余数 为1,4/7的余数因为是 （p+1)/2 ,这样的表述应该跟严谨一些.没有说余数有1/2的说法.虽然你补充问题给的例子最后答案正确,但是过程很不严谨.正确的做法为
2^(p-1) ≡ 1（mod p）
则 2^(p-2) ≡ （p+1)/2（mod p）
同理 3^(p-2) ≡ （p+1)/3（mod p）
6^(p-2) ≡ （p+1)/6（mod p）
2^(p-2)+3^(p-2)+6^(p-2) ≡ （p+1)/2+(p+1)/3+(p+1)/6（mod p）
≡ p/2+p/3+p/6 +1（mod p）
≡ p+1（mod p）
≡ 1（mod p）
例子中这样计算只是最后几个数加起来得到了1个P,这个P处以P的余数为0.
所以
ax≡1（mod m）,by≡1（mod m）,
有 x≡(m+1)/a（mod m）,y≡（m+1)/b（mod m）,
（a+b）（x+y）≡(a+b)*[(m+1)/a +(m+1)/b] （mod m）?
不过可以有 ax+by ≡2 （mod m）
ax≡1（mod m）表示的是 ax 除以m,余数 为1.
比如 2*4/7 的余数 为1,4/7的余数因为是 （p+1)/2 ,这样的表述应该跟严谨一些.没有说余数有1/2的说法.虽然你补充问题给的例子最后答案正确,但是过程很不严谨.正确的做法为
2^(p-1) ≡ 1（mod p）
则 2^(p-2) ≡ （p+1)/2（mod p）
同理 3^(p-2) ≡ （p+1)/3（mod p）
6^(p-2) ≡ （p+1)/6（mod p）
2^(p-2)+3^(p-2)+6^(p-2) ≡ （p+1)/2+(p+1)/3+(p+1)/6（mod p）
≡ p/2+p/3+p/6 +1（mod p）
≡ p+1（mod p）
≡ 1（mod p）
例子中这样计算只是最后几个数加起来得到了1个P,这个P处以P的余数为0.
所以
ax≡1（mod m）,by≡1（mod m）,
有 x≡(m+1)/a（mod m）,y≡（m+1)/b（mod m）,
（a+b）（x+y）≡(a+b)*[(m+1)/a +(m+1)/b] （mod m）?
不过可以有 ax+by ≡2 （mod m）