设函数f（x）=2ln（x-1）-（x-1）2．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 18:43:09

设函数f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）+x²-3x-a=0在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

（1）函数f（x）的定义域为（1，+∞），
∵f′(x)＝2[
1
x−1−(x−1)]＝−
2x(x−2)
x−1，
∵x＞1，则使f'（x）＞0的x的取值范围为（1，2），
故函数f（x）的单调递增区间为（1，2）．
（2）方法1：∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²，
∴f（x）+x²-3x-a=0⇔x+a+1-2ln（x-1）=0．
令g（x）=x+a+1-2ln（x-1），
∵g'（x）=1-
2
x−1＝
x−3
x−1，且x＞1，
由g'（x）＞0得x＞3，g'（x）＜0得1＜x＜3．
∴g（x）在区间[2，3]内单调递减，在区间[3，4]内单调递增，
故f（x）+x²-3x-a=0在区间[2，4]内恰有两个相异实根⇔

g(2)≥0
g(3)＜0
g(4)≥0.
即

a+3≥0
a+4−2ln2＜0
a+5−2ln3≥0.解得：2ln3-5≤a＜2ln2-4．
综上所述，a的取值范围是[2ln3-5，2ln2-4）．
方法2：∵f（x）=2ln（x-1）-（x-1）²，
∴f（x）+x²-3x-a=0⇔x+a+1-2ln（x-1）=0．
即a=2ln（x-1）-x-1，令h（x）=2ln（x-1）-x-1，
∵h'（x）=
2
x−1−1＝
3−x
x−1，且x＞1，
由h'（x）＞0得1＜x＜3，h'（x）＜0得x＞3．
∴h（x）在区间[2，3]内单调递增，在区间[3，4]内单调递减．
∵h（2）=-3，h（3）=2ln2-4，h（4）=2ln3-5，又h（2）＜h（4），
故f（x）+x²-3x-a=0在区间[2，4]内恰有两个相异实根⇔h（4）≤a＜h（3）．
即2ln3-5≤a＜2ln2-4．
综上所述，a的取值范围是[2ln3-5，2ln2-4）．

设函数g（x）=（x+1）ln（x+1）-x,f（x）=a（x+1）^2ln(x+1)+bx,曲线设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1），已知函数f（x）=x^2-2x+ln[(1-x)/(1+x)] 设函数f(x)=ln(x+1) 1求f（x)单调区间 2 x∈（0,2）f（x）＜ax的平方设函数g（x）=（x+1）ln（x+1）-x,f（x）=a（x+1）^2ln(x+1)+bx,曲线y=f（x）在原点（0 设函数f(x)=ln(1+x)-2x/(x+2), 设函数f（x）=1(x+1)ln(x+1)（x＞-1且x≠0）设函数f(x)=x^2+ln(x+m). 设函数f(x)=2X平方除X-2+ln(4-x)（1）求定义域（2）求f(3) 设f(x）={ln(x^2+a^2),若x>1; sinb(x-1）,若x 已知函数f(x)=ln(1+x)-x+k/2x^2 求f（x）的单调性（2007•海南）设函数f（x）=ln（2x+3）+x2