如△ABC中分别以AC,BC为边作等腰三角形ACD和等边三角形bce

(1)四边形AEMF是平时四边形证明：∵∠MCB=∠ACF=60°∴∠ACB=∠MCF∵BC=CM,CA=CF∴△ABC≌△FMC∴MF=AB=AE同理可得△ABC≌△EBM∴AE=AC=AF∴四边形

（1）证明：连接EC，∵AD⊥BE于H，∠1=∠2，∴∠3=∠4（1分）∵∠4=∠5，∴∠4=∠5=∠3，（2分）又∵E为CF的中点，∴EF=CE，∴∠6=∠7，（3分），∵BC是直径，∴∠E=90°

设圆o半径为r,由已知条件可知,半径OD平行于AC,可知∠B=60度,△ABC为等边三角形,则BD=DC=r,DE=r√3/2,tan∠AEO=tan∠EOD=√3/2∠AEO为锐角,所以cos∠AE

（1）证明：连接OD，∵AC=BC，∴∠ABC=∠BAC，∵OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∴∠BAC=∠BDO，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∵OD为半径，∴直线EF是⊙O的切线；（2

因为三角形BCF和三角形ACE是等边三角形所以角BCF=角ACE=60度又因为角BCF=角BCA+角ACF,角ACE=角FCE+角ACF所以角BCA=角ECF（1）因为三角形BCF和三角形ACE是等边

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD是底边BC上的高又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴D是BC的中点；（2）∵∠CBE与∠CAD是DE所对的圆周角，∴∠CBE=∠CAD，

（1）证明：连接AP，OP，∵AB=AC，∴∠C=∠B，又∵OP=OB，∠OPB=∠B，∴∠C=∠OPB，∴OP∥AD；又∵PD⊥AC于D，∴∠ADP=90°，∴∠DPO=90°，∵以AB为直径的⊙O

连结CD、BE易证△DAC≌△BAE(根据边角边）∴CD=BE又由已知得FG是△BCD的中位线,FH是△BCE的中位线∴FG=CD/2,FH=BE/2∴FG=FH

∵△FBC与△ECA为等边三角形∴∠FCB＝∠ECA＝60°,FC=BC,CE=CA∴∠FCB+∠BCA=∠ACE+∠BCA即∠FCA=∠BCE∴△FCA≌△BCE(SAS)∴FA=BE

证明：连接AD．∵AB是直径∴∠ADB=90°∴AD⊥BC∴∠BAD=∠CAD∴BD=DE．

证明：（1）连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB．∵AC=BC，∴AD=BD．（2）连接OD；∵AD=BD，OB=OC，∴OD是△BCA的中位线，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD

（1）证明：连接CD，OD，∵BC是⊙O直径，∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，∵AC=BC，∴BD=AD，∵BO=CO，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∵OD为半径，∴EF是⊙O的切线；（

（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵∠ABC=70°，∠ADB=90°，∴∠BAD=20°，∴BD的度数为40°，∵AB=A

1、证明：连接CE∵直径BC∴∠BEC＝90∴∠ACE+∠CME＝90∵AD⊥BE∴∠CAD+∠AMB＝90∵∠CME＝∠ANB∴∠ACE＝∠CAD∵∠ACE、∠FBE所对应圆弧都为劣弧EF∴∠ACE

如右图所示,连接OD、AD．∵AB是直径,∴∠BDA=∠CDA=90°,又∵AB=AC,∴BD=CD,∵OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴∠ODE=∠CED=90°,

连接OE,OD,AD, ∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,又AB=AC,∴AD为∠BAC的平分线,即∠BAD=∠CAD又圆心角∠BOD与圆周角∠BAD都对BD弧又圆心角∠EOD与圆周角

如图.①辅助线:连接CD.∵AC=直径BC.∴等腰△ACB.又∵BC是⊙O直径.∴CD⊥AB.∴CD是△ACB的中线(很据等腰三角形三线合一定理).∴BD=AD.②辅助线:连接OD.∵OD,OB是⊙O

（1）证明：连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，即点E为BC的中点；（2）∵∠COD=80°，∴∠DAC=12∠COD=40°，∵∠DAC+∠D

根据题意，设AB=2c，则AE=BD=c，BE=AD=3c∴在以A，B为焦点，且过D，E的椭圆中，离心率=2cBD+AD＝3−1，以A，B为焦点，且过D，E的双曲线中，离心率=2cAD−BD=3+1，