对1/(x(x^7+2)算不定积分,用第二换元法,怎么算下?

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/03 03:06:21

第二换元法是指用三角函数换元,此题不适用第二换元法.
∫ 1/[x(x⁷ + 2)] dx
= (1/2)∫ [(2 + x⁷) - x⁷]/[x(x⁷ + 2)] dx
= (1/2)∫ [1/x - x⁶/(x⁷ + 2)] dx
= 1/2 * ∫ 1/x dx - 1/2 * ∫ x⁶/(x⁷ + 2) dx
= (1/2)ln|x| - (1/2)(1/7)∫ d(x⁷ + 2)/(x⁷ + 2)
= (1/2)ln|x| - (1/14)ln|x⁷ + 2| + C
= ln|√x/(x⁷ + 2)^(1/14)| + C
再问：嗯，谢谢，我现在就是扭不过来了，你是没用代换，但要是令x=1/t,代换，怎么做？
再答：令x = 1/t，dx = - 1/t² dt ∫ 1/[x(x⁷ + 2)] dx = ∫ t * 1/(1/t⁷ + 2) * (- 1/t² dt) = ∫ t * t⁷/(1 + 2t⁷) * (- 1/t² dt) = - ∫ t⁶/(1 + 2t⁷) dt = - ∫ 1/(1 + 2t⁷) d(t⁷/7) = (- 1/7)(1/2)∫ 1/(1 + 2t⁷) d(1 + 2t⁷) = (- 1/14)ln|1 + 2t⁷| + C = (- 1/14)ln|1 + 2/x⁷| + C，果然好做些。。
再问：我也做到这了……可是答案是你上面做的里的(1/2)ln|x| - (1/14)ln|x⁷ + 2| + C ，有出入，那还是对的不？化不到答案要的答案……
再答： (- 1/14)ln|1 + 2/x⁷| = (- 1/14)ln|(x⁷ + 2)/x⁷| = (- 1/14)[ln|x⁷ + 2| - ln|x⁷|] = (- 1/14)ln|x⁷ + 2| + (1/14)(7ln|x|) = (1/2)ln|x| - (1/14)ln|x⁷ + 2| 对数化简而已

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