关于证明“任意一个函数可以拆成奇函数+偶函数”的疑问
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/03 18:35:29
关于证明“任意一个函数可以拆成奇函数+偶函数”的疑问
设存在偶函数g(x)和奇函数h(x)使:f(x)=g(x)+h(x)……(1)
所以f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x); ……(2)
由(1)、(2)及奇偶性得g(x)=[f(x)+f(-x)]/2 ,
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2 ;……………(一)
则:g(x)+h(x)=f(x)
h(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=-h(x)
证毕
怎么觉得有用结论证明结论的嫌疑呢?尤其是由奇偶性得出(一)步,又拿(一)步去证明奇偶性,这是怎么回事啊?
设存在偶函数g(x)和奇函数h(x)使:f(x)=g(x)+h(x)……(1)
所以f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x); ……(2)
由(1)、(2)及奇偶性得g(x)=[f(x)+f(-x)]/2 ,
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2 ;……………(一)
则:g(x)+h(x)=f(x)
h(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=-h(x)
证毕
怎么觉得有用结论证明结论的嫌疑呢?尤其是由奇偶性得出(一)步,又拿(一)步去证明奇偶性,这是怎么回事啊?
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证明:
设f(x)是定义在R上(或者关于原定对称)的函数,则:
f(x) = [f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2
再令:
g(x)=[f(x)+f(-x)]/2;
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
只要证明了g(x)和h(x)一个是偶函数,一个是奇函数就可以了
原题证明是比较啰嗦,思路不清晰!
设f(x)是定义在R上(或者关于原定对称)的函数,则:
f(x) = [f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2
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g(x)=[f(x)+f(-x)]/2;
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
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为什么 任意一个定义域关于原点对称的函数都可以用一个奇函数和一个偶函数的和表示
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