如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/29 23:12:23

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．

（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．

（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD₁B₁相交于点G，
连接OG，因为PC∥平面BDD₁B₁，平面BDD₁B₁∩平面APC=OG，
故OG∥PC，所以，OG=
1
2PC=
m
2．
又AO⊥BD，AO⊥BB₁，所以AO⊥平面BDD₁B₁，
故∠AGO是AP与平面BDD₁B₁所成的角．
在Rt△AOG中，tan∠AGO=
OA
GO＝

2
2

m
2＝3
2，即m=
1
3．
所以，当m=
1
3时，直线AP与平面BDD₁B₁所成的角的正切值为3
2．
（2）可以推测，点Q应当是A_IC_I的中点，当是中点时
因为D₁O₁⊥A₁C₁，且 D₁O₁⊥A₁A，A₁C₁∩A₁A=A₁，
所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，
又AP⊂平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP．
那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直．
再问：蒽蒽垂直