如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A(4,0),C(0,2),点D是OA的中点;设点P是∠AOC平分线上
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 08:44:01
如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A(4,0),C(0,2),点D是OA的中点;设点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).
(1)试证明:无论点P运动到何处,PC与PD总相等;
(2)当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O,P,D三点的抛物线的解析式;
(3)设点E是(2)中所确定的顶点,当点P运动到何处,三角形PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和三角形PDE的周长
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/e7/ee75d24a68a952b895e24844593693f8.jpg)
(1)试证明:无论点P运动到何处,PC与PD总相等;
(2)当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O,P,D三点的抛物线的解析式;
(3)设点E是(2)中所确定的顶点,当点P运动到何处,三角形PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和三角形PDE的周长
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/e7/ee75d24a68a952b895e24844593693f8.jpg)
![如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A(4,0),C(0,2),点D是OA的中点;设点P是∠AOC平分线上](/uploads/image/z/12187454-14-4.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E7%9F%A9%E5%BD%A2OABC%E4%B8%AD%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5A%2CC%E4%B8%A4%E7%82%B9%E7%9A%84%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAA%EF%BC%884%2C0%EF%BC%89%2CC%EF%BC%880%2C2%EF%BC%89%2C%E7%82%B9D%E6%98%AFOA%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%9B%E8%AE%BE%E7%82%B9P%E6%98%AF%E2%88%A0AOC%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%E4%B8%8A)
(1)∵点D是OA的中点,
∴OD=2,
∴OD=OC.
又∵OP是∠COD的角平分线,
∴∠POC=∠POD=45°,
∴△POC≌△POD,
∴PC=PD.
(2)过点B作∠AOC的平分线的垂线,垂足为P,点P即为所求.
易知点F的坐标为(2,2),故BF=2,作PM⊥BF,
∵△PBF是等腰直角三角形,
∴PM=1 2 BF=1,
∴点P的坐标为(3,3).
∵抛物线经过原点,
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx.
又∵抛物线经过点P(3,3)和点D(2,0),
∴有 9a+3b=3 4a+2b=0
解得 a=1 b=-2
∴抛物线的解析式为y=x2-2x;
(3)由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点.
连接EC,它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点(因为PE+PD=EC,而两点之间线段最短),此时△PED的周长最小.
∵抛物线y=x2-2x的顶点E的坐标(1,-1),C点的坐标(0,2),
设CE所在直线的解析式为y=kx+b,
则有 k+b=-1 b=2 ,
解得 k=-3 b=2 .
∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2.
点P满足 y=-3x+2 y=x ,
解得 x=1 2 y=1 2 ,
故点P的坐标为(1 2 ,1 2 ).
△PED的周长即是CE+DE= 10 + 2 ;
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/d5/1d54b63f92100a083cdf1d1b3fd0e637.jpg)
∴OD=2,
∴OD=OC.
又∵OP是∠COD的角平分线,
∴∠POC=∠POD=45°,
∴△POC≌△POD,
∴PC=PD.
(2)过点B作∠AOC的平分线的垂线,垂足为P,点P即为所求.
易知点F的坐标为(2,2),故BF=2,作PM⊥BF,
∵△PBF是等腰直角三角形,
∴PM=1 2 BF=1,
∴点P的坐标为(3,3).
∵抛物线经过原点,
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx.
又∵抛物线经过点P(3,3)和点D(2,0),
∴有 9a+3b=3 4a+2b=0
解得 a=1 b=-2
∴抛物线的解析式为y=x2-2x;
(3)由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点.
连接EC,它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点(因为PE+PD=EC,而两点之间线段最短),此时△PED的周长最小.
∵抛物线y=x2-2x的顶点E的坐标(1,-1),C点的坐标(0,2),
设CE所在直线的解析式为y=kx+b,
则有 k+b=-1 b=2 ,
解得 k=-3 b=2 .
∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2.
点P满足 y=-3x+2 y=x ,
解得 x=1 2 y=1 2 ,
故点P的坐标为(1 2 ,1 2 ).
△PED的周长即是CE+DE= 10 + 2 ;
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/d5/1d54b63f92100a083cdf1d1b3fd0e637.jpg)
如图,在矩形OABC中,已知A,C两点的坐标分别为A(4,0),C(0,2),点D是OA的中点;设点P是∠AOC平分线上
如图 在矩形OABC中 ,已知AC两点的坐标分别为A(4,0),C(0,2),点D是OA的中点,设点P是∠AOC平分线上
已知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C、D的坐标分别为(9,0)
如图.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(10,0)(0,4),点D是OA的中
如图,在直角坐标系中,四边形OABC为矩形,A(8,0),C(0,6),点M是OA的中点,P、Q两点同时从点M出发,点P
如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC是矩形,A(10,0),C(0,3),点D是OA的中点,点P在BC边上
如图,四边形OABC是正方形,边长为6,点A、C分别在X轴 Y轴的正半轴上,点D在OA上,且点D的坐标为(2,0),P是
知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D
已知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别是A(10,0),C(0,4),点D是O
已知:如图1,平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别为(6,0),(0,2).点D是线段BC上
如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上,B点坐标为(3,2),OB与AC交于点P,D、E、F、G分别是线