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积分证明 已知,在区间[0,1]上f(x)连续且f(x)>0,证明∫f(x)dx∫1/f(x)dx≥1 积分区域均为0到

来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/29 13:35:36
积分证明 已知,在区间[0,1]上f(x)连续且f(x)>0,证明∫f(x)dx∫1/f(x)dx≥1 积分区域均为0到1
积分证明 已知,在区间[0,1]上f(x)连续且f(x)>0,证明∫f(x)dx∫1/f(x)dx≥1 积分区域均为0到
本题其实是柯西-许瓦兹不等式的特例
有两个证法：1、用二重积分来证,2、用定积分,方法2较简单,但技巧高些.
证法1：
左边=∫[0--->1]f(x)dx∫[0--->1] 1/f(x)dx
定积分可随便换字母
=∫[0--->1]f(x)dx∫[0--->1] 1/f(y)dy
=∫∫f(x)/f(y)dxdy 积分区域为：0≤x≤1,0≤y≤1,由轮换对称性的因此有∫∫f(x)/f(y)dxdy=∫∫f(y)/f(x)dxdy
=1/2[∫∫f(x)/f(y)dxdy+∫∫f(y)/f(x)dxdy]
=1/2∫∫ [f(x)/f(y)+f(y)/f(x)] dxdy
平均值不等式
≥1/2∫∫ 2 dxdy
=∫∫ 1 dxdy 被积函数为1,积分结果为区域面积
=1=右边 证毕
证法2：构造g(t)=t²∫f(x)dx+2t+∫1/f(x)dx 由于积分结果是常数,g(t)关于t是二次函数
g(t)=t²∫f(x)dx+2t∫1dx+∫1/f(x)dx
=∫ [t²f(x)+2t+1/f(x)] dx
被积函数是个完全平方
=∫ [t√f(x)+1/√f(x)]² dx
≥0
由于g(t)恒大于等于0,因此判别式必小于0,即：
2²-4∫f(x)dx∫1/f(x)dx≤0
整理后即为：∫f(x)dx∫1/f(x)dx≥1
积分证明 已知,在区间[0,1]上f(x)连续且f(x)>0,证明∫f(x)dx∫1/f(x)dx≥1 积分区域均为0到 f(x)在(0.1)上连续且单调增,证明∫[0,1]f(x)dx 微积分不等式证明设f(x)在[0,1]上连续,且∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1（两个积分都是在0-1上的积分） 高数题,设函数f(x)在区间（0,1）上连续,则定积分【从-1到1】{[f(x)+f(-x)+x]x}dx= 设f(x)连续,证明（积分区间为0到2π）∫xf(cosx)dx=π∫f(sinx)dx 设f(x)连续,证明（积分区间为0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx 定积分的高数数学题设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)>=0,若∫（b a)f(x)dx=0,证明f(x)恒 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明∫[∫f(t)dt]dx=∫(1-x)f(x)dx 请解释高数定积分证明1、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为偶函数,则 ∫（上a下-a）f(x)dx=2∫（上a下0）f( f(x)在[0,1]上连续,定积分f(x)dx=0,证明至少存在一点ξ,使f(1-ξ)=-f(ξ) 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且定积分{上限a,下限b}f(x)dx=0,证明在[a,b]上至少 设f在0到1上连续且可导,3*定积分上1/3下0e^(1-x^2)f(x)dx=f(1),证明存在t在(0,1)使f'(