高数证明题:设f(x)及g(x)在闭区间ab上连续,且f(x)≥g(x),证明:若∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/30 15:53:41
高数证明题:设f(x)及g(x)在闭区间ab上连续,且f(x)≥g(x),证明:若∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)g(x)dx,则在闭区间ab上f(x)≡g(c)
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假设f(x)≡g(c)在ab上并不是处处成立,∵两函数在ab上连续,且f(x)>=g(x)
∴必有闭区间cd包含于ab使f(x)>g(x)
∴∫(c,d)f(x)dx > ∫(c,d)g(x)dx
∴∫(a,c)f(x)dx + ∫(c,d)f(x)dx + ∫(d,b)f(x)dx>
∫(a,c)g(x)dx + ∫(c,d)g(x)dx + ∫(d,b)g(x)dx
即∫(a,b)f(x)dx>∫(a,b)g(x)dx
与题设矛盾,所以假设不成立
∴闭区间ab上f(x)≡g(c)
再问: 怎么理解∫(a,b)f(x)dx>∫(a,b)g(x)dx与题设矛盾
再问: 是与题目所给的条件矛盾吗
再答: 因为题里不是说了嘛“证明:若∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)g(x)dx,则。。。”要是一个比另一个大,肯定就不相等了
∴必有闭区间cd包含于ab使f(x)>g(x)
∴∫(c,d)f(x)dx > ∫(c,d)g(x)dx
∴∫(a,c)f(x)dx + ∫(c,d)f(x)dx + ∫(d,b)f(x)dx>
∫(a,c)g(x)dx + ∫(c,d)g(x)dx + ∫(d,b)g(x)dx
即∫(a,b)f(x)dx>∫(a,b)g(x)dx
与题设矛盾,所以假设不成立
∴闭区间ab上f(x)≡g(c)
再问: 怎么理解∫(a,b)f(x)dx>∫(a,b)g(x)dx与题设矛盾
再问: 是与题目所给的条件矛盾吗
再答: 因为题里不是说了嘛“证明:若∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)g(x)dx,则。。。”要是一个比另一个大,肯定就不相等了
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