搜搜考试网导数及其应用 (9 17:50:1)
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/28 06:39:12
导数及其应用 (9 17:50:1)
设t≠0,点P（t,0）是函数f（x）=x^3+ax与g（x）=bx^2+c的图像的一个公共点,两函数的图像在点P处有相同的切线.
（1）用t表示a,b,c
（2）若t=1,求函数y=f（x）与g（x）图像围成的封闭图形的面积.
（3）若函数y=f（x）-g（x）在（-1,3）上单调递减,求t的取值范围.
设t≠0,点P（t,0）是函数f（x）=x^3+ax与g（x）=bx^2+c的图像的一个公共点,两函数的图像在点P处有相同的切线.
（1）用t表示a,b,c
（2）若t=1,求函数y=f（x）与g（x）图像围成的封闭图形的面积.
（3）若函数y=f（x）-g（x）在（-1,3）上单调递减,求t的取值范围.
(1):f'(x)=3x^2+a
g'(x)=2bx,因为p(t,0)是俩个函数的公共点所以 t^3+at=0,bt^2+c=0,
又因为俩个函数在p点又相同的切线所以 f'(t)=g'(t) 推出3t^2+a=2bt
所以：a=-t^2 b=t c=-t^3,
(2):当t=1时：a=-1,b=1,c=-1,代入函数得：f(x)=x^3-x ,g(x)=x^2-1;
令f(x)=g(x)得：x=1,y=0或者x=-1,y=0.对f(x)-g(x)在x从（-1,1） 积分得：封闭面积是1.5
（3）y=f(x)-g(x)=x^3-t^2x-tx^2-t^3 得：y'=3x^2-2xt-t^2在（-1,3）上小于0恒成立；所以 y'=3x^2-2xt-t^2
g'(x)=2bx,因为p(t,0)是俩个函数的公共点所以 t^3+at=0,bt^2+c=0,
又因为俩个函数在p点又相同的切线所以 f'(t)=g'(t) 推出3t^2+a=2bt
所以：a=-t^2 b=t c=-t^3,
(2):当t=1时：a=-1,b=1,c=-1,代入函数得：f(x)=x^3-x ,g(x)=x^2-1;
令f(x)=g(x)得：x=1,y=0或者x=-1,y=0.对f(x)-g(x)在x从（-1,1） 积分得：封闭面积是1.5
（3）y=f(x)-g(x)=x^3-t^2x-tx^2-t^3 得：y'=3x^2-2xt-t^2在（-1,3）上小于0恒成立；所以 y'=3x^2-2xt-t^2