为什么数学上的光滑曲线不仅处处连续可导,导数也要处处连续可导
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/20 18:18:38
为什么数学上的光滑曲线不仅处处连续可导,导数也要处处连续可导
若函数f(x)在区间(a,b)内具有一阶连续导数,则其图形为一条处处有切线的曲线,且切线随切点的移动而连续转动,这样的曲线称为光滑曲线.
与光滑曲线相对应的就是折线,
考虑折线
y = x (x∈(-∞,0))
y = -x(x∈[0,∞))
此折线,处处连续且可导,但在x=0这一点附近,
x→0- 时,其导数为1
x→0+ 时,其导数为-1
其导数不连续
再问: 你给的这个折线不是处处连续可导的啊。。 它在0处不可导的
再答: 那么再考虑一下下面的函数吧: y = x*x/2 (x∈(-∞,0)) y = -x*x/2(x∈[0,∞)) 处处连续可导,其一阶导数,就是前面的函数,因此它也不是光滑曲线 再考虑 y = -x^3,其形状与上面的函数形状很象,但是其导数 y' = -3x^2 处处连续可导,因此是光滑曲线。 这两个图形你可以做出来看一下,就可以看出来它们在 x=0处的不同了,前一个函数会很生硬,虽然它在x=0处可导
再问: 可是感觉y = x*x/2 (x∈(-∞,0)) y = -x*x/2(x∈[0,∞)) 这也应该算光滑曲线了吧。。
再答: 因为对于一条曲线来说,其一阶导数确定了它的增减性,其二阶导数确定了它的凹凸性,因此说曲线光滑就是说它的增减性连续,它的凹凸性也连续。 不过在实际应用中,如果对其凹凸性连续不要求的话,也可以近似地认为上面的曲线是光滑的,但严格的讲,其凹凸性也应连续。 最直接的例子,就是如果滑梯按y=-x^3设计的话,你从上面滑下来就不会感觉有突兀的地方,但是如果按y = ±x^2设计的话,你就会在连接处感觉跳了一下,呵呵
与光滑曲线相对应的就是折线,
考虑折线
y = x (x∈(-∞,0))
y = -x(x∈[0,∞))
此折线,处处连续且可导,但在x=0这一点附近,
x→0- 时,其导数为1
x→0+ 时,其导数为-1
其导数不连续
再问: 你给的这个折线不是处处连续可导的啊。。 它在0处不可导的
再答: 那么再考虑一下下面的函数吧: y = x*x/2 (x∈(-∞,0)) y = -x*x/2(x∈[0,∞)) 处处连续可导,其一阶导数,就是前面的函数,因此它也不是光滑曲线 再考虑 y = -x^3,其形状与上面的函数形状很象,但是其导数 y' = -3x^2 处处连续可导,因此是光滑曲线。 这两个图形你可以做出来看一下,就可以看出来它们在 x=0处的不同了,前一个函数会很生硬,虽然它在x=0处可导
再问: 可是感觉y = x*x/2 (x∈(-∞,0)) y = -x*x/2(x∈[0,∞)) 这也应该算光滑曲线了吧。。
再答: 因为对于一条曲线来说,其一阶导数确定了它的增减性,其二阶导数确定了它的凹凸性,因此说曲线光滑就是说它的增减性连续,它的凹凸性也连续。 不过在实际应用中,如果对其凹凸性连续不要求的话,也可以近似地认为上面的曲线是光滑的,但严格的讲,其凹凸性也应连续。 最直接的例子,就是如果滑梯按y=-x^3设计的话,你从上面滑下来就不会感觉有突兀的地方,但是如果按y = ±x^2设计的话,你就会在连接处感觉跳了一下,呵呵
为什么数学上的光滑曲线不仅处处连续可导,导数也要处处连续可导
处处可导的函数的一阶导数连续吗?为什么?
开区间上处处可导但导函数处处不连续的函数是否存在?
证明是否存在函数,满足:“处处可导,但导函数处处不连续的”
原函数在闭区间上处处可导,一节导函数连续”
有没有这样的函数?函数(假设定义域是全体实数)处处可导,但是导数任何地方不连续.如果没有的话,也要说下原因。回复楼下:可
一个连续函数处处可导,而它的导函数不一定连续,能不能举个例子?
什么函数处处连续处处不可导
外尔斯特拉斯的处处连续处处不可导函数
哪些函数是处处连续处处不可导的?
谁能找一个处处连续处处不可导的函数!一定要把图象也一起给我!
1:连续可导函数的导数一定连续吗?