二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy其中D={（x,y）/x^2+y^2=0}

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/30 15:46:36

二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy其中D={（x,y）/x^2+y^2=0}
答案是(π/2)*ln2

$二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy其中D={（x,y）/x^2+y^2=0}$

I = ∫∫ (1 + xy)/(1 + x² + y²) dxdy,D = { (x,y) | x² + y² ≤ 1,x ≥ 0 }
{ x = rcosθ,{ y = rsinθ
- π/2 ≤ θ ≤ π/2,注意这界限,∵x ≥ 0,所以θ只能在第三、第四象限变化
I = ∫(- π/2→π/2) dθ ∫(0→1) (1 + r²sinθcosθ)/(1 + r²) • rdr
= ∫(- π/2→π/2) dθ • ∫(0→1) [r/(1 + r²) + r³/(1 + r²) • sinθcosθ] dr
= ∫(- π/2→π/2) (1/2)ln(r² + 1) + sinθcosθ • [r²/2 - (1/2)ln(r² + 1)] |(0→1) dθ
= ∫(- π/2→π/2) (1/2)ln(2) + [1/2 - (1/2)ln(2)] • sinθcosθ dθ
= (1/2)ln(2) • (π/2 + π/2) + [1/2 - (1/2)ln(2)] • 0
= (1/2)ln(2) • π
= (π/2)ln(2)

楼上的象限根本是错的
要是角度限制在[0,π]内,那是y ≥ 0而不是x ≥ 0,画个图就知道了
要x ≥ 0,x的值当然要在y轴右边了,即第三、第四象限才是的
对于y ≥ 0,y = √(1 - x²),θ∈[0,π]
对于x ≥ 0,x = √(1 - y²),θ∈[- π/2,π]
对于y ≤ 0,y = - √(1 - x²),θ∈[3π/2,2π]
对于x ≤ 0,x = - √(1 - y²),θ∈[π,3π/2]

[r²/2 - (1/2)ln(r² + 1)]

这步只是求∫ r³/(1 + r²) dr,你会做的吧
再问： [r²/2 - (1/2)ln(r² + 1)]这一步不懂，

二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy其中D={（x,y）/x^2+y^2=0} 计算二重积分∫∫|y-x^2|dxdy,其中区域D={(x,y)|-1 计算二重积分、∫∫[D](x/y^2)dxdy,其中D是曲线y=x,xy=1及x=2围成 ∫∫(x^2+y)dxdy,其中D为直线y=x,x=2和双曲线xy=1所围成的区域, 计算二重积分. 计算二重积分∫∫ln(x^2+y^2)dxdy,其中积分区域D={(x,y)/1 计算二重积分∫∫(D)3xy^2dxdy,其中D由直线y=x,x=1及x轴所围成区域二重积分求∫∫[y/(1+x^2+y^2)^(3/2)]dxdy 其中 D：0 计算二重积分I=∫∫(D)x^2*e^(-y^2)dxdy,其中D由直线y=x,y=x与y轴围成由二重积分几何意义,∫∫√(1-x^2-y^2)dxdy= ,其中D={(x,y)| x^2+y^2 =0} 计算二重积分∫∫3x/y² dxdy ,其中D由x=2,y=1/x和y=x围成. 计算二重积分I=∫∫(1+X+2y)dxdy ,D={(x,y) | 0≤x≤2,-1≤y≤3} 设I=二重积分∫∫ln(x^2+y^2+1)dxdy,其中D为圆域x^2+y^2