搜搜考试网已知函数f(x)＝x+9x−3(x＞3)
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/29 13:32:03
已知函数f(x)＝x+
(x＞3)
| 9 |
| x−3 |
（I）∵x＞3，
∴x-3＞0．
∴f(x)＝x+
9
x−3＝x−3+
9
x−3+3≥2
(x−3)•
9
x−3+3＝9．…（3分）
当且仅当x−3＝
9
x−3
即（x-3）2=9时上式取得等号，
又∵x＞3，
∴x=6，…（5分）
∴当x=6时，函数f（x）的最小值是9．…（6分）
（II）由（I）知，当x＞3时，f（x）的最小值是9，
要使不等式f(x)≥
t
t+1+7恒成立，只需9≥
t
t+1+7…（9分）
∴
t
t+1−2≤0即
−t−2
t+1≤0
解得t≤-2或t＞-1
∴实数t的取值范围是（-∞，-2]∪（-1，+∞）．…（12分）
∴x-3＞0．
∴f(x)＝x+
9
x−3＝x−3+
9
x−3+3≥2
(x−3)•
9
x−3+3＝9．…（3分）
当且仅当x−3＝
9
x−3
即（x-3）2=9时上式取得等号，
又∵x＞3，
∴x=6，…（5分）
∴当x=6时，函数f（x）的最小值是9．…（6分）
（II）由（I）知，当x＞3时，f（x）的最小值是9，
要使不等式f(x)≥
t
t+1+7恒成立，只需9≥
t
t+1+7…（9分）
∴
t
t+1−2≤0即
−t−2
t+1≤0
解得t≤-2或t＞-1
∴实数t的取值范围是（-∞，-2]∪（-1，+∞）．…（12分）