一个数论问题求证:当n>1时,1+1/2+1/3+...+1/n不是整数.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/27 18:45:49
一个数论问题
求证:当n>1时,1+1/2+1/3+...+1/n不是整数.
求证:当n>1时,1+1/2+1/3+...+1/n不是整数.
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当n=2时,1+1/2=3/2显然不是整数,结论成立.下面要证明的是,当n>=3时,1+1/2+1/3+……+1/n也不可能是整数.设s=1+1/2+1/3+……+1/n.,m是满足2^m=3,故在所有的分母当中(都是奇数^_^)必定存在一个最大的奇素数,设它为p,这样在分母中去掉p,设余下的奇数的最小公倍数为N,我们在Ms=M+M/2+M/3+……M/n两边再同时乘以N,得到MNs=MN+MN/2+MN/3+……MN/n.注意到等式右边的每一项MN/k(k=1,2,3,……n), 当且仅当k=p时,MN/k不是整数,其他的项都是整数.所以等式右边最后得到的不是整数!从而等式左边的MNs也不是整数, 这样一来如果s是整数的话,那么
MNs就变成整数了,矛盾!所以s决不可能是整数.结论证明完毕^_^
为了使你能更好理解上述证明过程,我给你具体举个例子吧^_^.例如证明s=1+1/2+1/3+……+1/10不是整数,2^310,所以取M=2^3=8,于是在s=1+1/2+1/3+……+1/10得到8s=8+4+8/3+2+8/5+4/3+8/7+1+8/9+4/5,右边有5项不是整数,它们的分母依次是3,5,3,7,9,5.期中最大的奇素数p是7, 除掉7剩下的数最小公倍数是45,因而N=45.所以8*45*s=8×45+4×45+8×15+2×45+8×9+4×15+8×45/7+8×5+4×9,很明显等式右边8×45/7这一项是不可约分数,因而整个和式结果不是整数,所以s不可能是整数.
MNs就变成整数了,矛盾!所以s决不可能是整数.结论证明完毕^_^
为了使你能更好理解上述证明过程,我给你具体举个例子吧^_^.例如证明s=1+1/2+1/3+……+1/10不是整数,2^310,所以取M=2^3=8,于是在s=1+1/2+1/3+……+1/10得到8s=8+4+8/3+2+8/5+4/3+8/7+1+8/9+4/5,右边有5项不是整数,它们的分母依次是3,5,3,7,9,5.期中最大的奇素数p是7, 除掉7剩下的数最小公倍数是45,因而N=45.所以8*45*s=8×45+4×45+8×15+2×45+8×9+4×15+8×45/7+8×5+4×9,很明显等式右边8×45/7这一项是不可约分数,因而整个和式结果不是整数,所以s不可能是整数.
一个数论问题求证:当n>1时,1+1/2+1/3+...+1/n不是整数.
求证:当n为整数时,两个连续整数的平方差(n+1)的平方-(2n-1)的平方,是这两个连续整数的和
当n为正偶数,求证n/(n-1)+n(n-2)/(n-1)(n-3)+...+n(n-2).2/(n-1)(n-3)..
初等数论设n是正整数,证明6| n(n + 1)(2n + 1).
已知Sn=1+1/2+1/3+.+1/n(n>1,n为整数),求证S(2^n)>1+n/2(n>=2,n为整数)
当n取任意整数时对于代数式n(n+1)(n+2)(n+3)+1总是一个完全平方数是真命题么
求证:当n为自然数时,(3n^2-n+1)(3n^2-n+3)+1是一个完全平方数
求证当n为自然数时,2(2n+1)不能表示成两个整数的平方差
当n是整数时,求证:两个连续整数的平方差(n+1)²-n²等于这两个连续整数的和.
数论:已知m>0,n>0,(m,n)=1,求证方程x^m=y^n的全部整数解可以由x=t^n,y=t^m给出,其中t取任
若n是整数,求证n(n+1)(2n+1)为6的倍数
n属于整数. 求证:n! + 1 含有一个大于n的质数因子!