已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/05 08:43:51

已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（ I）若函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，求a的值；
（ II）若函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：

k＝1

sin

(k+1)

（ I）∵函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
∴F（x）=ax-lnx，则 F′（x）=a-
1
x，
∵函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，
∴F′（1）=0，
∴a-1=0，解得a=1；
（ II）∵函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，
∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+
1
x，
只要G′（x）＞0在区间（0，1）上大于0，
∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+
1
x＞0，
∴a＜
1
xcos(1−x)，求
1
xcos(1−x)的最小值即可，
求h（x）=xcos（1-x）的最小值即可，0＜1-x＜1，
∵h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在（0，1）增函数，
h（x）＜h（1）=1，
∴
1
xcos(1−x)的最小值为1，
∴a≤1；
（Ⅲ）∵0＜
1
(k+1)2＜1，
∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，
∴
n

k＝1sin
1
(k+1)2=sin
1
22+sin
1
23+…+sin
1
(n+1)2≤
1
22+
1
23+…+
1
(n+1)2
＜
1
4+
1
9+
1
16+
1
4×5+
1
5×6+…+
1
n(n+1)=
97
144-
1
n+1＜
97
144＜ln2，
∴
n

k＝1sin
1
(k+1)2＜ln2；

已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx 已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=ax-lnx，其中a≤0．已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）．已知函数f（x）=1/2x^2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)=3x,其中a∈R且（2014•西城区一模）已知函数f（x）=lnx-ax，其中a∈R．已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R，a＞0）．已知函数f(x)=e∧x+ax,g(x)=ax-lnx,其中a 已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．已知函数f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．