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如图,矩形ABCD,AB=2,AD=3,点P为AD上一点,PE⊥PC,交AB于E点,点Q在AP上不与P点重合,且QE⊥Q

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/03 04:47:45
如图,矩形ABCD,AB=2,AD=3,点P为AD上一点,PE⊥PC,交AB于E点,点Q在AP上不与P点重合,且QE⊥QC,

(1)求证:AP•DP=AE•DC;
(2)求AP+AQ的值.
如图,矩形ABCD,AB=2,AD=3,点P为AD上一点,PE⊥PC,交AB于E点,点Q在AP上不与P点重合,且QE⊥Q
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,∠A=∠D=90°,
∵PE⊥PC,
∴∠EPC=90°,
∴∠AEP+∠APE=90°,∠APE+∠DPC=90°,
∴∠AEP=∠DPC,
∵∠A=∠D,
∴△AEP∽△DPC,

AP
DC=
AE
DP,
∴AP•DP=AE•DC.

(2) 连接CE,取CE中点F,过F作FG∥CD交AD于G,
∵AB∥CD,∠A=90°,
∴AE∥FG∥CD,
∴AG=DG=
1
2AD=
3
2,FG⊥AD,
∵QE⊥CQ,PE⊥PC,
∴∠EQC=∠EPC=90°,
∵F为CE中点,
∴QF=
1
2CE,PF=
1
2CE,
∴QF=PF,
∵FG⊥AD,
∴QG=PG,
∴AP+AQ=AG+GP+AG-GQ=2AG=2×
3
2=3.