大一高等数学里求不定积分,感觉没有什么思路!在遇到的各种问题时,可以分成几大类啊?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 13:14:51
大一高等数学里求不定积分,感觉没有什么思路!在遇到的各种问题时,可以分成几大类啊?
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1:利用积分表,根据公式解积分,基本公式∫ x^n dx = x^(n + 1)/(n + 1) + C
2:换元积分法,分为两种
第一换元积分法,即令u = x²、u = √x、u = 6z、u = (x - 1)^(1/3)等
第二换元积分法,即令x = 2sinθ、x = 7cosθ,x = 5secθ,主要用于√(a² ± x²)、√(x² - a²)消除根号之用
3:分部积分法,∫ udv = uv - ∫ vdu,其中函数u比函数v更复杂,u比v更难进行积分
4:有理积分法,分为两种
第一:将一个大分式分裂为几个小分式,例如1/(x² - 1) = 1/[2(x - 1)] - 1/[2(x + 1)]
通常用待定系数法,即令1/(x² - 1) = A/(x - 1) + B/(x + 1),然后解出A及B
第二:万能公式,对于分式有三角函数时用到,主要将三角函数化为有理函数后再积分
令u = tan(x/2),dx = 2du/(1 + u²),sinx = 2u/(1 + u²),cosx = (1 - u²)/(1 + u²)
如果是定积分的话就更多更难了.
再问: 为什么定积分更难?
再答: 定积分有更多公式: 第一:用微积分基本公式,∫(a→b) f(x) dx = F(b) - F(a) 这里F(x)是f(x)的原函数,即先求出不定积分,然后再代入上限和下限 这里已经包含了所有不定积分的求解技巧。 第二:假变量,∫(a→b) f(x) =dx = ∫(a→b) f(u) du = ∫(a→b) f(z) dz 只要上限和下限在不变的情况下,变量可随意更换。 第三:∫(a→a) f(x) dx = 0,当下限和上限相同时,包围的面积等于0 第四:分裂性:∫(a→b) f(x) dx = ∫(a→c) f(x) dx + ∫(c→b) f(x) dx,c∈[a,b] 第五:奇偶性,若f(x)是奇函数,则∫(- a→a) f(x) dx = 0,f(- x) = - f(x) 若f(x)是偶函数,则∫(- a→a) f(x) dx = 2∫(0→a) f(x) dx,f(- x) = f(x) 第六:周期性,对于周期为T的函数,∫(0→nT) f(x) dx = n∫(0→T) f(x) dx,n为正整数 第七:换元积分法,注意上下限有转变的。 若u = g(x),则∫(a→b) f(g(x)) * g'(x) dx = ∫(g(a)→g(b)) f(u) du 第八:分部积分法,∫(a→b) f(x) d[g(x)] = [f(x)g(x)] |(a→b) - ∫(a→b) g(x) d[f(x)] 第九:用定义法:∫(a→b) f(x) dx = lim(Δx→0) Σ(k=1→n) [(b - a)/n]f[a + (b - a)/n],或用级数解 第十:瑕积分,若上限或下限或两者都是无穷时,有 ∫(-∞→b) f(x) dx = lim(a→-∞) ∫(a→b) f(x) dx ∫(a→+∞) f(x) dx = lim(b→+∞) ∫(a→b) f(x) dx ∫(-∞→+∞) f(x) dx = ∫(-∞→c) f(x) dx + ∫(c→+∞) f(x) dx = lim(a→-∞) ∫(a→c) f(x) dx + lim(b→+∞) ∫(c→b) f(x) dx ※瑕积分可能不存在,即发散。 第十一:借助参数,求导。例如∫(0→π) xsinx/(5 - 4cosx) dx,令f(t) = ln(5 - tcosx) 第十二:借助、扩充到二重积分。例如∫(0→+∞) e^(- x²) dx 第十三:过程中可能会化为超越函数比较方便,例如Gamma函数、Beta函数、椭圆函数等。 第十四:某些定积分不能用普通方法解出,需用特殊方法,例如扩充到复平面,用留数定理。 或者用拉普拉斯变换(Laplace Transform)等,当然要符合一定的要求才能用。定积分的几何意义就是曲线包围的面积,除了不存在的瑕积分外,即使原函数不能求得,也一定有答案。
再问: 哇,看来我得加倍努力了!谢谢
2:换元积分法,分为两种
第一换元积分法,即令u = x²、u = √x、u = 6z、u = (x - 1)^(1/3)等
第二换元积分法,即令x = 2sinθ、x = 7cosθ,x = 5secθ,主要用于√(a² ± x²)、√(x² - a²)消除根号之用
3:分部积分法,∫ udv = uv - ∫ vdu,其中函数u比函数v更复杂,u比v更难进行积分
4:有理积分法,分为两种
第一:将一个大分式分裂为几个小分式,例如1/(x² - 1) = 1/[2(x - 1)] - 1/[2(x + 1)]
通常用待定系数法,即令1/(x² - 1) = A/(x - 1) + B/(x + 1),然后解出A及B
第二:万能公式,对于分式有三角函数时用到,主要将三角函数化为有理函数后再积分
令u = tan(x/2),dx = 2du/(1 + u²),sinx = 2u/(1 + u²),cosx = (1 - u²)/(1 + u²)
如果是定积分的话就更多更难了.
再问: 为什么定积分更难?
再答: 定积分有更多公式: 第一:用微积分基本公式,∫(a→b) f(x) dx = F(b) - F(a) 这里F(x)是f(x)的原函数,即先求出不定积分,然后再代入上限和下限 这里已经包含了所有不定积分的求解技巧。 第二:假变量,∫(a→b) f(x) =dx = ∫(a→b) f(u) du = ∫(a→b) f(z) dz 只要上限和下限在不变的情况下,变量可随意更换。 第三:∫(a→a) f(x) dx = 0,当下限和上限相同时,包围的面积等于0 第四:分裂性:∫(a→b) f(x) dx = ∫(a→c) f(x) dx + ∫(c→b) f(x) dx,c∈[a,b] 第五:奇偶性,若f(x)是奇函数,则∫(- a→a) f(x) dx = 0,f(- x) = - f(x) 若f(x)是偶函数,则∫(- a→a) f(x) dx = 2∫(0→a) f(x) dx,f(- x) = f(x) 第六:周期性,对于周期为T的函数,∫(0→nT) f(x) dx = n∫(0→T) f(x) dx,n为正整数 第七:换元积分法,注意上下限有转变的。 若u = g(x),则∫(a→b) f(g(x)) * g'(x) dx = ∫(g(a)→g(b)) f(u) du 第八:分部积分法,∫(a→b) f(x) d[g(x)] = [f(x)g(x)] |(a→b) - ∫(a→b) g(x) d[f(x)] 第九:用定义法:∫(a→b) f(x) dx = lim(Δx→0) Σ(k=1→n) [(b - a)/n]f[a + (b - a)/n],或用级数解 第十:瑕积分,若上限或下限或两者都是无穷时,有 ∫(-∞→b) f(x) dx = lim(a→-∞) ∫(a→b) f(x) dx ∫(a→+∞) f(x) dx = lim(b→+∞) ∫(a→b) f(x) dx ∫(-∞→+∞) f(x) dx = ∫(-∞→c) f(x) dx + ∫(c→+∞) f(x) dx = lim(a→-∞) ∫(a→c) f(x) dx + lim(b→+∞) ∫(c→b) f(x) dx ※瑕积分可能不存在,即发散。 第十一:借助参数,求导。例如∫(0→π) xsinx/(5 - 4cosx) dx,令f(t) = ln(5 - tcosx) 第十二:借助、扩充到二重积分。例如∫(0→+∞) e^(- x²) dx 第十三:过程中可能会化为超越函数比较方便,例如Gamma函数、Beta函数、椭圆函数等。 第十四:某些定积分不能用普通方法解出,需用特殊方法,例如扩充到复平面,用留数定理。 或者用拉普拉斯变换(Laplace Transform)等,当然要符合一定的要求才能用。定积分的几何意义就是曲线包围的面积,除了不存在的瑕积分外,即使原函数不能求得,也一定有答案。
再问: 哇,看来我得加倍努力了!谢谢