搜搜考试网∫根号（x^2-4)dx用换元积分法算出来
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/31 19:31:28
∫根号（x^2-4)dx用换元积分法算出来
令x=2csct,我算到的答案是(x/2)根号（x^2-4）+2ln|x/2-(1/2)根号x^2-4|+C,跟书本答案不同
令x=2csct,我算到的答案是(x/2)根号（x^2-4）+2ln|x/2-(1/2)根号x^2-4|+C,跟书本答案不同
优先用正割的方法：
令x = 2secz,dx = 2secztanz dz,当x > 2
∫ √(x² - 4) dx
= ∫ √(4sec²z - 4) * 2secztanz dz
= ∫ 2tanz * 2secztanz dz
= 4∫ secz * (sec²z - 1) dz
= 4∫ sec³z dz - 4∫ secz dz
= 4 * 1/2 * (secztanz + ln|secz + tanz|) - 4ln|secz + tanz|
= 2secztanz - 2ln|secz + tanz| + C
= 2(x/2)√(x² - 4)/2 - 2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C
= (x/2)√(x² - 4) - 2ln|x + √(x² - 4)| + 2ln2 + C
= (x/2)√(x² - 4) - 2ln|x + √(x² - 4) + C''
用余割方法：
令x = 2cscz,dx = - 2csczcotz dz,x > 2
∫ √(x² - 4) dx
= ∫ √(4csc²z - 4) * -2csczcotz dz
= ∫ 2cotz * -2csczcotz dz
= - 4∫ cscz * (csc²z - 1) dz
= 4∫ cscz dz - 4∫ csc³z dz
= - 4ln|cscz + cotz| - 4 * -1/2 * (csczcotz + ln|cscz + cotz|) + C
= -2ln|cscz + cotz| + 2csczcotz + C
= 2(x/2)√(x² - 4)/2 - 2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C
= (x/2)√(x² - 4) - 2ln|x + √(x² - 4)| + C'''
再问： 那个-2ln|x/2+1/2根号（x^2-4）是怎么变成-2ln|x+根号（x^2-4)的？
再答： 对数公式ln(A/B) = lnA - lnB -2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C = -2ln|[x + √(x² - 4)]/2| + C = -2[ ln|x + √(x² - 4)| - ln2 ] + C = -2ln|x + √(x² - 4)| + 2ln2 + C = -2ln|x + √(x² - 4)| + C''，C'' = C + 2ln2，常数可以组起来
再问： 最后一个问题 4∫ cscz dz - 4∫ csc³z dz= - 4ln|cscz + cotz| - 4 * -1/2 * (csczcotz + ln|cscz + cotz|) + C这一步是怎么变的？书本的公式是∫cscxdx=ln|secx-cotx|+c,而我用分部积分法算出∫csc^3zdz=-csczdz*cotz-∫csc^3zdz+∫csczdz，两者结合，原式=2cscz*根号（csc^2-1)+2∫csczdz，请告诉我哪里出错了？
再答： 书里的公式应该是∫ cscx dx = ln|cscx - cotx| + C 也可以是∫ cscx dx = - ln|cscx + cotx| + C ∫ csc³z dx = ∫ cscz d(-cotz) = -[csczcotz - ∫ cotz dcscz] = -csczcotz + ∫ cotz * -csczcotz dz = -csczcotz - ∫ cscz * (csc²z - 1) dz = -csczcotz - ∫ csc³z dz + ∫ cscz dz 2∫ csc³z dz = - csczcotz - ln|cscz + cotz| ∫ csc³z dz = - (1/2)csczcotz - (1/2)ln|cscz + cotz| + C = - (1/2)cscz√(csc²z - 1) - (1/2)ln|cscz + √(csc²z - 1)| + C，若x = 2cscz ==> cscz = x/2 = - (1/2)(x/2)√(x²/4 - 1) - (1/2)ln|x/2 + √(x²/4 - 1)| + C = - (1/2)(x/2)√(x² - 4)/2 - (1/2)ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C = - (1/2)(x/2)√(x² - 4)/2 - (1/2)ln|x + √(x² - 4)| + C''，你核对一下
令x = 2secz,dx = 2secztanz dz,当x > 2
∫ √(x² - 4) dx
= ∫ √(4sec²z - 4) * 2secztanz dz
= ∫ 2tanz * 2secztanz dz
= 4∫ secz * (sec²z - 1) dz
= 4∫ sec³z dz - 4∫ secz dz
= 4 * 1/2 * (secztanz + ln|secz + tanz|) - 4ln|secz + tanz|
= 2secztanz - 2ln|secz + tanz| + C
= 2(x/2)√(x² - 4)/2 - 2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C
= (x/2)√(x² - 4) - 2ln|x + √(x² - 4)| + 2ln2 + C
= (x/2)√(x² - 4) - 2ln|x + √(x² - 4) + C''
用余割方法：
令x = 2cscz,dx = - 2csczcotz dz,x > 2
∫ √(x² - 4) dx
= ∫ √(4csc²z - 4) * -2csczcotz dz
= ∫ 2cotz * -2csczcotz dz
= - 4∫ cscz * (csc²z - 1) dz
= 4∫ cscz dz - 4∫ csc³z dz
= - 4ln|cscz + cotz| - 4 * -1/2 * (csczcotz + ln|cscz + cotz|) + C
= -2ln|cscz + cotz| + 2csczcotz + C
= 2(x/2)√(x² - 4)/2 - 2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C
= (x/2)√(x² - 4) - 2ln|x + √(x² - 4)| + C'''
再问： 那个-2ln|x/2+1/2根号（x^2-4）是怎么变成-2ln|x+根号（x^2-4)的？
再答： 对数公式ln(A/B) = lnA - lnB -2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C = -2ln|[x + √(x² - 4)]/2| + C = -2[ ln|x + √(x² - 4)| - ln2 ] + C = -2ln|x + √(x² - 4)| + 2ln2 + C = -2ln|x + √(x² - 4)| + C''，C'' = C + 2ln2，常数可以组起来
再问： 最后一个问题 4∫ cscz dz - 4∫ csc³z dz= - 4ln|cscz + cotz| - 4 * -1/2 * (csczcotz + ln|cscz + cotz|) + C这一步是怎么变的？书本的公式是∫cscxdx=ln|secx-cotx|+c,而我用分部积分法算出∫csc^3zdz=-csczdz*cotz-∫csc^3zdz+∫csczdz，两者结合，原式=2cscz*根号（csc^2-1)+2∫csczdz，请告诉我哪里出错了？
再答： 书里的公式应该是∫ cscx dx = ln|cscx - cotx| + C 也可以是∫ cscx dx = - ln|cscx + cotx| + C ∫ csc³z dx = ∫ cscz d(-cotz) = -[csczcotz - ∫ cotz dcscz] = -csczcotz + ∫ cotz * -csczcotz dz = -csczcotz - ∫ cscz * (csc²z - 1) dz = -csczcotz - ∫ csc³z dz + ∫ cscz dz 2∫ csc³z dz = - csczcotz - ln|cscz + cotz| ∫ csc³z dz = - (1/2)csczcotz - (1/2)ln|cscz + cotz| + C = - (1/2)cscz√(csc²z - 1) - (1/2)ln|cscz + √(csc²z - 1)| + C，若x = 2cscz ==> cscz = x/2 = - (1/2)(x/2)√(x²/4 - 1) - (1/2)ln|x/2 + √(x²/4 - 1)| + C = - (1/2)(x/2)√(x² - 4)/2 - (1/2)ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C = - (1/2)(x/2)√(x² - 4)/2 - (1/2)ln|x + √(x² - 4)| + C''，你核对一下