已知函数f(x)=ax^3+bx^2-3x,a,b属于R.1若f(x)是R上的单调函数,求a,b满足的关系式

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/31 11:29:12

f(x)=ax^3+bx^2-3x
f'(x) = 3ax^2 + 2bx -3
f(x)是R上的单调函数
∴f‘(x)≥0,或者≤0
当a=0,b=0时,f’(x)=-3＜0,函数在R上单调减成立；
当a＞0时,f'(x) = 3ax^2 + 2bx -3的判别式=(2b)^2-4*3a*(-3)=4b^2+36a恒大于0,即,f'(x) = 3ax^2 + 2bx -3不能保证恒大于0,不符合要求.
当a＜0时,f'(x) = 3ax^2 + 2bx -3的判别式=(2b)^2-4*3a*(-3)=4b^2+36a≤0
b≤3根号(-a),此时能保证f'(x) = 3ax^2 + 2bx -3≤0,函数在R上单调减
综上：a,b必须满足的关系式如下：
（1）a=b=0
或
（2）a＜0,并且b＜3根号(-a)
再问：当a＞0时，f'(x) = 3ax^2 + 2bx -3的判别式=(2b)^2-4*3a*(-3)=4b^2+36a恒大于0 这一步是怎么推过来的
再答： ∵4b^2≥0 又：36a＞0 ∴判别式＞0 ∴f’（x)与x轴存在两个交点 ∴f'(x)即存在＞0的值，又存在＜0的值， ∴不符合单调性要求

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