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三棱锥P-ABC中,三角形ABC是等边的,PA垂直于底面,PA=AB,求二面角A-PB-C的正切值~

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 23:56:42
三棱锥P-ABC中,三角形ABC是等边的,PA垂直于底面,PA=AB,求二面角A-PB-C的正切值~
三棱锥P-ABC中,三角形ABC是等边的,PA垂直于底面,PA=AB,求二面角A-PB-C的正切值~
作AD⊥PB,垂足为D,作CE⊥PB,垂足为E,作EF‖AD,交AB于F
CE⊥PB,EF⊥PB可知∠CEF为二面角A-PB-C
设PA=AB=AC=BC=a
则PB=PC=√2a,AD=√2a /2,ΔPBC的半周长=(1+2√2)a/2
SΔPBC=√{[(1+2√2)a/2][(1+2√2)a/2-√2a]^2[(1+2√2)a/2-a]}
=√7a^2/4
CE=(2√7a^2/4)/√2a=√14a/4
BE=√[a^2-(√14a/4)^2]=√2a/4
BF=√2*√2a/4=a/2
∵AC=BC,AF=BF
∴CF⊥AB
CF=√3a/2
EF=BE=√2a/4
tan∠CEF=CF/EF=(√3a/2)/(√2a/4)=√6