如何证明两函数关于x轴、y轴、原点还有y=x对称?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 12:32:42
如何证明两函数关于x轴、y轴、原点还有y=x对称?
只需其中一个函数上的点做相应的对称后,一一对应的变到另一个函数上的点即可.
具体地,令两个函数分别为f(x)和g(x)
若想证明其关于x轴对称,只需证明f(x)函数上的点(x,f(x))做关于x轴的对称后(x,-f(x))是函数g(x)上的点,再关于g(x)做类似的事即可.这种证法的想法是最严格的,所有的事情都可以这么来想.但实际做题时,只需直接证明:
对于任意的x,有f(x)=-g(x)即可.
类似地,
关于y轴对称,只需证明对任意的x,有f(x)=g(-x)
关于原点对称,只需证明对任意的x,有f(-x)=-g(x)
关于y=x对称(也就是反函数),只需证明对任意的x,有g(f(x))=x和f(g(x))=x
希望我的回答可以帮到你~不懂的可以再问我哈!
再问: 有g(f(x))=x和f(g(x))=x 没看懂,什么意思啊?
再答: 这个是指函数的复合。 g(f(x))也就是g(t)这个函数在t=f(x)这个地方的取值~
再问: 为什么要两个式子呢?一个g(f(x))=x不就够了吗?
再答: 嗯,大多数时候一个式子就够了,高中做题其实应该一个式子也够了。 我这么说是为了数学的严格性考虑,主要是因为两个函数的定义域和值域的问题。 f(x)的值域和g(x)的定义域以及f(x)的定义域和g(x)的值域得分别相同才能完全关于x=y对称。 比如 f(x)=1/2x, 定义域为[0,1] 而 g(x)=|2x|, 定义域为[-1/2,1/2] 你可以把函数图象画出来,明显他们俩不是关于x=y对称的,但是 却有g(f(x))=x,对任意x在f(x)的定义域中成立。 而f(g(x))=x却不成立,x在取负值的时候,就不对了。 当然,高中的题目一般情况下定义域和值域都是比较平凡的,比如都是实数,那么就只用对一个式子进行验证就行了。 说的麻烦了点,但希望你能明白~
具体地,令两个函数分别为f(x)和g(x)
若想证明其关于x轴对称,只需证明f(x)函数上的点(x,f(x))做关于x轴的对称后(x,-f(x))是函数g(x)上的点,再关于g(x)做类似的事即可.这种证法的想法是最严格的,所有的事情都可以这么来想.但实际做题时,只需直接证明:
对于任意的x,有f(x)=-g(x)即可.
类似地,
关于y轴对称,只需证明对任意的x,有f(x)=g(-x)
关于原点对称,只需证明对任意的x,有f(-x)=-g(x)
关于y=x对称(也就是反函数),只需证明对任意的x,有g(f(x))=x和f(g(x))=x
希望我的回答可以帮到你~不懂的可以再问我哈!
再问: 有g(f(x))=x和f(g(x))=x 没看懂,什么意思啊?
再答: 这个是指函数的复合。 g(f(x))也就是g(t)这个函数在t=f(x)这个地方的取值~
再问: 为什么要两个式子呢?一个g(f(x))=x不就够了吗?
再答: 嗯,大多数时候一个式子就够了,高中做题其实应该一个式子也够了。 我这么说是为了数学的严格性考虑,主要是因为两个函数的定义域和值域的问题。 f(x)的值域和g(x)的定义域以及f(x)的定义域和g(x)的值域得分别相同才能完全关于x=y对称。 比如 f(x)=1/2x, 定义域为[0,1] 而 g(x)=|2x|, 定义域为[-1/2,1/2] 你可以把函数图象画出来,明显他们俩不是关于x=y对称的,但是 却有g(f(x))=x,对任意x在f(x)的定义域中成立。 而f(g(x))=x却不成立,x在取负值的时候,就不对了。 当然,高中的题目一般情况下定义域和值域都是比较平凡的,比如都是实数,那么就只用对一个式子进行验证就行了。 说的麻烦了点,但希望你能明白~
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