搜搜考试网一道双曲线求离心率的题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/13 02:49:15
一道双曲线求离心率的题
已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0b>0)的右焦点为F,过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,与双曲线交于M,垂足为N,若M为线段FN的中点,则双曲线C的离心率为
已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0b>0)的右焦点为F,过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,与双曲线交于M,垂足为N,若M为线段FN的中点,则双曲线C的离心率为
不妨设渐近线方程为 y = bx / a
F(c,0) 设M(m,bm/a)
则k = (bm/a) / (m-c) = -a/b
解得 m= a²c /(a²+b²) = a²/c
故M（a²/c ,ab/c）
MF的中点N（(c²+a²)/(2c),ab/(2c)）在双曲线上
(c²+a²)²/(4c²a²) - a²b² / (4c²b²) =1
整理得 c²=2a²
∴e= c/a =√2
F(c,0) 设M(m,bm/a)
则k = (bm/a) / (m-c) = -a/b
解得 m= a²c /(a²+b²) = a²/c
故M（a²/c ,ab/c）
MF的中点N（(c²+a²)/(2c),ab/(2c)）在双曲线上
(c²+a²)²/(4c²a²) - a²b² / (4c²b²) =1
整理得 c²=2a²
∴e= c/a =√2