搜搜考试网请教柯西不等式一般形式的证明问题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/27 22:55:25
请教柯西不等式一般形式的证明问题
图上是对不等式(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)≥|a1b1+a2b2+……+anbn|的证明,但到最后说明等号成立的条件时,我不太明白.bi=0或ai=0都应该是使等号成立的条件,但是对于a1/b1=a2/b2=……=an/bn来说,除了包含当bi≠0时,ai=0的这个条件外,还有ai/bi成比例的这种意义吗?换句话说,ai/bi成比例是不是可以作为使得上面等号成立的条件呢?
图上是对不等式(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)≥|a1b1+a2b2+……+anbn|的证明,但到最后说明等号成立的条件时,我不太明白.bi=0或ai=0都应该是使等号成立的条件,但是对于a1/b1=a2/b2=……=an/bn来说,除了包含当bi≠0时,ai=0的这个条件外,还有ai/bi成比例的这种意义吗?换句话说,ai/bi成比例是不是可以作为使得上面等号成立的条件呢?
这个不等式是在ai≠0、bi≠0的情况下来证明而得到的,但得到的这个结论对于ai=0、bi=0也是适合的,所以这个不等式可以放宽到ai=0、bi=0时也成立.
再问： 谢谢，你的意思是说其实ai与bi成比例也是等号成立的一种情况了？
再答： 这个不能这样说。 这个问题的证明，是先从都不为0开始证明的，而且证明得到这个结论是正确的；然后，再验证当ai=0、bi=0时，此时这个不等式还是正确的，从而可以将不等式的条件放宽到ai≥0、bi≥0
再问： 好像是不像你说的那样。你看图上最开始是说a1=a2=……=an=0时，等号是成立的。后来有用参数配方法，得出一个二次方程，同时等号成立的条件就变为了aix+bi=0.到这步时，请问为什么ai/bi=-x，或者是a1/b1=a2/b2=……=an/bn就成立了呢？我就是一直没明白，ai=0或bi=0是一种使得等号成立的条件，但a1/b1=a2/b2=……=an/bn呢？即便把满足a1/b1=a2/b2=……=an/bn的常数带了进去，那是不是还是存在是否有一x，使得aix+bi=0成立呢？
再答： 1、先证明不为0的情形，然后测试当等于0时，等式也是成立的； 2、这里的是比例，无所谓0和非0的。。
再问： 谢谢，你的意思是说其实ai与bi成比例也是等号成立的一种情况了？
再答： 这个不能这样说。 这个问题的证明，是先从都不为0开始证明的，而且证明得到这个结论是正确的；然后，再验证当ai=0、bi=0时，此时这个不等式还是正确的，从而可以将不等式的条件放宽到ai≥0、bi≥0
再问： 好像是不像你说的那样。你看图上最开始是说a1=a2=……=an=0时，等号是成立的。后来有用参数配方法，得出一个二次方程，同时等号成立的条件就变为了aix+bi=0.到这步时，请问为什么ai/bi=-x，或者是a1/b1=a2/b2=……=an/bn就成立了呢？我就是一直没明白，ai=0或bi=0是一种使得等号成立的条件，但a1/b1=a2/b2=……=an/bn呢？即便把满足a1/b1=a2/b2=……=an/bn的常数带了进去，那是不是还是存在是否有一x，使得aix+bi=0成立呢？
再答： 1、先证明不为0的情形，然后测试当等于0时，等式也是成立的； 2、这里的是比例，无所谓0和非0的。。