搜搜考试网二阶常系数非齐次微分方程
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/01 10:48:09
二阶常系数非齐次微分方程
求详解...
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1、对应的齐次线性方程的特征方程是r^2-3r+2=0,根是1.2.所以齐次线性方程的通解是y=C1*e^x+C2*e^(2x).
因为λ=0不是特征方程的根,所以非齐次线性方程的特解可设为y*=A,代入得A=1.所以y*=1.
所以非齐次线性方程的通解是y=1+C1*e^x+C2*e^(2x).
2、对应的齐次线性方程的特征方程是r^2-6r+8=0,根是2,4.
由叠加原理,非齐次线性方程y''-6y'+8y=e^x与y''-6y'+8y=e^(2x)的特解之和是原非齐次线性方程的特解.
因为λ=1不是特征方程的根,所以y''-6y'+8y=e^x的特解为Ae^x.因为λ=2是特征方程的单根,所以y''-6y'+8y=e^(2x)的特解为Bxe^(2x).
所以原方程的一个特解为Ae^x+Bxe^(2x),其中A,B是任意实数.
再问： y''-6y'+8y=e^x的特解为Ae^x，其中的A代表啥，A=Q（x）=（Ax+B）？？还是说因为y''-6y'+8y=e^x+e^(2x)是因为叠加而成的，所以分开算时，设Q（x）=A就行了。。
再答： 不是说了，A,B指的是待定的实数，特解的形式是根据方程的结果设出来的。根据非齐次线性方程的解的特点， y''-6y'+8y=e^x+e^(2x)的特解可拆为 y''-6y'+8y=e^x与 y''-6y'+8y=e^(2x)的特解之和。
因为λ=0不是特征方程的根,所以非齐次线性方程的特解可设为y*=A,代入得A=1.所以y*=1.
所以非齐次线性方程的通解是y=1+C1*e^x+C2*e^(2x).
2、对应的齐次线性方程的特征方程是r^2-6r+8=0,根是2,4.
由叠加原理,非齐次线性方程y''-6y'+8y=e^x与y''-6y'+8y=e^(2x)的特解之和是原非齐次线性方程的特解.
因为λ=1不是特征方程的根,所以y''-6y'+8y=e^x的特解为Ae^x.因为λ=2是特征方程的单根,所以y''-6y'+8y=e^(2x)的特解为Bxe^(2x).
所以原方程的一个特解为Ae^x+Bxe^(2x),其中A,B是任意实数.
再问： y''-6y'+8y=e^x的特解为Ae^x，其中的A代表啥，A=Q（x）=（Ax+B）？？还是说因为y''-6y'+8y=e^x+e^(2x)是因为叠加而成的，所以分开算时，设Q（x）=A就行了。。
再答： 不是说了，A,B指的是待定的实数，特解的形式是根据方程的结果设出来的。根据非齐次线性方程的解的特点， y''-6y'+8y=e^x+e^(2x)的特解可拆为 y''-6y'+8y=e^x与 y''-6y'+8y=e^(2x)的特解之和。