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已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 07:19:36
已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立.若数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)=
1
f(-2-a
已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)
根据题意,不妨设f(x)=(
1
2)x,(其中x∈R);则a1=f(0)=1,
∵f(an+1)=
1
f(-2-an)(n∈N*),∴(
1
2)an+1=
1
(
1
2)-2-an=(
1
2)2+an,∴an+1=an+2;
∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列;∴an=2n-1,∴a2010=4019.
故答案为:4019.