证明a的平方加a乘以b加b的平方等于二倍c的平方是否有整数解
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 06:51:31
证明a的平方加a乘以b加b的平方等于二倍c的平方是否有整数解
只有一组解,就是a=b=c=0.证明如下:
当a=b=c=0时,原方程成立,∴a=b=c=0是原方程的解.
当它们不为0时,
∵a^2+ab+b^2=2c^2,
因为:偶数×偶数=偶数,奇数×奇数=奇数.
所以:a、b必须同为偶数.否则:
①当a、b一者为偶数,另一者为奇数时,左边一定是奇数,而右边是偶数.
②当a、b都为奇数时,左边的三项都是奇数,和不可能是偶数,而右边却是偶数.
当a、b同为偶数时,不失一般性地设a=2m,b=2n,得:4m^2+4mn+4n^2=2c^2,
∴2m^2+2mn+2n^2=c^2,这时左边是偶数,所以右边必为偶数,设c=2k,得:
2m^2+2mn+2n^2=4k^2,∴m^2+mn+n^2=2k^2.
这又回复到原方程的形式,意味着a、b、c永远都是偶数的偶数倍.
可是,任何的偶数都能表示成某奇数的偶数倍.
矛盾的产生,说明a、b同为偶数的假设是错误的.
a、b不能同奇同偶,也不能一奇一偶,即表明不能是0以外的其它整数.
∴原方程没有非零整数解.
当a=b=c=0时,原方程成立,∴a=b=c=0是原方程的解.
当它们不为0时,
∵a^2+ab+b^2=2c^2,
因为:偶数×偶数=偶数,奇数×奇数=奇数.
所以:a、b必须同为偶数.否则:
①当a、b一者为偶数,另一者为奇数时,左边一定是奇数,而右边是偶数.
②当a、b都为奇数时,左边的三项都是奇数,和不可能是偶数,而右边却是偶数.
当a、b同为偶数时,不失一般性地设a=2m,b=2n,得:4m^2+4mn+4n^2=2c^2,
∴2m^2+2mn+2n^2=c^2,这时左边是偶数,所以右边必为偶数,设c=2k,得:
2m^2+2mn+2n^2=4k^2,∴m^2+mn+n^2=2k^2.
这又回复到原方程的形式,意味着a、b、c永远都是偶数的偶数倍.
可是,任何的偶数都能表示成某奇数的偶数倍.
矛盾的产生,说明a、b同为偶数的假设是错误的.
a、b不能同奇同偶,也不能一奇一偶,即表明不能是0以外的其它整数.
∴原方程没有非零整数解.
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