高等代数无限集合比较大小
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/12 11:33:15
高等代数无限集合比较大小
偶数集和自然数集存在一一对应关系,势相同,可是明明自然数集比偶数集大啊,那么无线集合怎么比较哪个集合更多呢?老师说0到1内的无理数集比有理数集大,这又是怎么回事?
偶数集和自然数集存在一一对应关系,势相同,可是明明自然数集比偶数集大啊,那么无线集合怎么比较哪个集合更多呢?老师说0到1内的无理数集比有理数集大,这又是怎么回事?
![高等代数无限集合比较大小](/uploads/image/z/2323208-56-8.jpg?t=%E9%AB%98%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%97%A0%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88%E6%AF%94%E8%BE%83%E5%A4%A7%E5%B0%8F)
"集合比其真子集的元素多", 这在有限集情形是容易证明的.
但对无限集并没有证明这一点, 这里不能凭感觉就认为也是对的.
实际上, 对任意无限集都存在其真子集与其可以建立一一对应,
所以上述论断对无限集是不成立的.
总之一切都要从定义出发: 两个集合的基数相等当且仅当二者间存在一一对应.
而如果存在集合A到B的单射, 但不存在B到A的单射, 则B的基数严格大于A的基数.
(如果A, B分别有到对方的单射, 可以证明A, B间存在一一对应).
说偶数与自然数一样多, 以及无理数比有理数多都是基于上述准则.
后者要证明不存在无理数集到有理数集的单射, 这个证明不是随便讲得清的.
但对无限集并没有证明这一点, 这里不能凭感觉就认为也是对的.
实际上, 对任意无限集都存在其真子集与其可以建立一一对应,
所以上述论断对无限集是不成立的.
总之一切都要从定义出发: 两个集合的基数相等当且仅当二者间存在一一对应.
而如果存在集合A到B的单射, 但不存在B到A的单射, 则B的基数严格大于A的基数.
(如果A, B分别有到对方的单射, 可以证明A, B间存在一一对应).
说偶数与自然数一样多, 以及无理数比有理数多都是基于上述准则.
后者要证明不存在无理数集到有理数集的单射, 这个证明不是随便讲得清的.