搜搜考试网一道计算极限的题目的解释
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/30 10:30:06
一道计算极限的题目的解释
请问,lim(x×sin1/x) 其中x趋向∞然后计算这个题目.为什么不能按照极限的运算法则然后拆开成为limx跟limsin1/x然后算他们的积?（此时算到等于0?）什么情况下可以直接用极限的运算法则呢?为什么此时不可以而一定要用代换法?（用t代替1/x?此时算到也就是正确答案等于1）
请问,lim(x×sin1/x) 其中x趋向∞然后计算这个题目.为什么不能按照极限的运算法则然后拆开成为limx跟limsin1/x然后算他们的积?（此时算到等于0?）什么情况下可以直接用极限的运算法则呢?为什么此时不可以而一定要用代换法?（用t代替1/x?此时算到也就是正确答案等于1）
第一按照极限的运算法则必须满足两者的极限都存在
第一个limx=无穷,极限不存在,所以不可以用
其次就算可以用
无穷*0是不定型,即可能是无穷,0,某个常数
所以无法得到结果,必须放在一起考虑
不一定要用代换法
最好的办法就采用洛必达,替换法可能会出错的
替换法只是会简化运算过程,实质是一样的
若不替换
=sin(1/x)/(1/x),0/0不定型,洛必达
上下分别求导
=cos(1/x)(-1/x^2)/(-1/x^2)=cos(0)=1
若替换
则=sin(t)/t,t->0
显然是1,用洛必达也一样
再问： 也就是说两个都必须要是确定的一个数值才可以用运算法则对吗？只要一个不是一个确定的数值就不能用了？
再答： 对的，不是有限数值则必须采用另外的办法，例如洛必达 另一种是一个是非零有限数值，一个是无穷，会得到无穷 lim_x->无穷 (1/x+1)*x =lim 1/x+1 lim x =1*lim x=无穷 总结如下，若两者都为有限数值，一定能用 若其一为无穷，另一为不为0的有限数值，极限无穷 若其一为无穷，另一为0，想办法化成分式，洛必达 若两者都为无穷，则极限无穷
再问： 无限加减无限等于什么呢？
再答： 正无穷+正无穷=无穷 正无穷-正无穷=不定
第一个limx=无穷,极限不存在,所以不可以用
其次就算可以用
无穷*0是不定型,即可能是无穷,0,某个常数
所以无法得到结果,必须放在一起考虑
不一定要用代换法
最好的办法就采用洛必达,替换法可能会出错的
替换法只是会简化运算过程,实质是一样的
若不替换
=sin(1/x)/(1/x),0/0不定型,洛必达
上下分别求导
=cos(1/x)(-1/x^2)/(-1/x^2)=cos(0)=1
若替换
则=sin(t)/t,t->0
显然是1,用洛必达也一样
再问： 也就是说两个都必须要是确定的一个数值才可以用运算法则对吗？只要一个不是一个确定的数值就不能用了？
再答： 对的，不是有限数值则必须采用另外的办法，例如洛必达 另一种是一个是非零有限数值，一个是无穷，会得到无穷 lim_x->无穷 (1/x+1)*x =lim 1/x+1 lim x =1*lim x=无穷 总结如下，若两者都为有限数值，一定能用 若其一为无穷，另一为不为0的有限数值，极限无穷 若其一为无穷，另一为0，想办法化成分式，洛必达 若两者都为无穷，则极限无穷
再问： 无限加减无限等于什么呢？
再答： 正无穷+正无穷=无穷 正无穷-正无穷=不定