离散数学题:链是一个偏序集,...
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 03:30:12
离散数学题:链是一个偏序集,...
链是一个偏序集,对于任意的l1,l2∈L,或者l1≤l2,或者l2≤l1,试证明每一个链都形成一个分配格.
链是一个偏序集,对于任意的l1,l2∈L,或者l1≤l2,或者l2≤l1,试证明每一个链都形成一个分配格.
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证明 设a,b∈L,因为是一个链,即任意两个元素均可比较,故有a≤b,或者b≤a,如果是前者,则a∨b= b,a∧b= a,如果是后者,则a∨b= a,a∧b= b,即任意两个元素均存在最小上界和最大下界,故是格.
设a,b,c∈L,分如下两种情况讨论:
⑴如果a≤b,a≤c,则a∨b= b,a∨c = c,(a∨b)∧(a∨c )= b∧c,
另一方面,由a≤b,a≤c得a≤b∧c,得a∨(b∧c)= b∧c,于是有
(a∨b)∧(a∨c )= a∨(b∧c)
⑵如果b≤a或c≤a,则a∨b= a或a∨c =a,故由吸收律得(a∨b)∧(a∨c )= a
另一方面,由b≤a或c≤a得b∧c ≤a,即a∨(b∧c)= a,于是也有
(a∨b)∧(a∨c )= a∨(b∧c)
分配律成立,故是分配格.
设a,b,c∈L,分如下两种情况讨论:
⑴如果a≤b,a≤c,则a∨b= b,a∨c = c,(a∨b)∧(a∨c )= b∧c,
另一方面,由a≤b,a≤c得a≤b∧c,得a∨(b∧c)= b∧c,于是有
(a∨b)∧(a∨c )= a∨(b∧c)
⑵如果b≤a或c≤a,则a∨b= a或a∨c =a,故由吸收律得(a∨b)∧(a∨c )= a
另一方面,由b≤a或c≤a得b∧c ≤a,即a∨(b∧c)= a,于是也有
(a∨b)∧(a∨c )= a∨(b∧c)
分配律成立,故是分配格.