平面内用向量法证明点到直线距离公式
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/11 20:15:36
平面内用向量法证明点到直线距离公式
![平面内用向量法证明点到直线距离公式](/uploads/image/z/2574250-34-0.jpg?t=%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%86%85%E7%94%A8%E5%90%91%E9%87%8F%E6%B3%95%E8%AF%81%E6%98%8E%E7%82%B9%E5%88%B0%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E8%B7%9D%E7%A6%BB%E5%85%AC%E5%BC%8F)
设 P(x0,y0),直线 L :Ax+By+C=0 ,
则直线的法向量取为 n=(A,B) ,
设 Q(x1,y1)是L上任一点,
则 PQ=(x1-x0,y1-y0),
P 到 L 的距离等于 PQ 在 n 方向上的投影的绝对值 ,
即 d=| PQ*n/|n| |
=|A(x1-x0)+B(y1-y0)|/|n|
=|Ax0+By0-(Ax1+By1)|/|n|
=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^) .(最后一步用到 Ax1+By1= -C ,|n|=√(A^2+B^2) )
则直线的法向量取为 n=(A,B) ,
设 Q(x1,y1)是L上任一点,
则 PQ=(x1-x0,y1-y0),
P 到 L 的距离等于 PQ 在 n 方向上的投影的绝对值 ,
即 d=| PQ*n/|n| |
=|A(x1-x0)+B(y1-y0)|/|n|
=|Ax0+By0-(Ax1+By1)|/|n|
=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^) .(最后一步用到 Ax1+By1= -C ,|n|=√(A^2+B^2) )