搜搜考试网设f(x)是零到正无穷上的连续函数,且f(x)=f(x^2),x属于零到正无穷,证明f(x)在零到正无穷上为常数.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/20 05:04:58
设f(x)是零到正无穷上的连续函数,且f(x)=f(x^2),x属于零到正无穷,证明f(x)在零到正无穷上为常数.
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证明：设 x = y^2,f(y)=f(y^2),===> f(x)= f(x^(1/2))
任给x 大于0,不等于1,f（x) = f(x^(1/2))= f(x^(1/4))=.=f(x^(1/2^n))=.
因为 x,x^(1/2),.,x^(1/2^n),.-------> 1 根据连续性,于是 f（1）=lim f(x^(1/2^n))=f(x)
所以,f(x) = f(1),对一切 x>0 成立,如果定义域包括0,显然根据连续性,f(0)也必须=f(1).
即f(x)在零到正无穷上为常数.
再问： lim f(x^(1/2^n))=f(x)是怎么得出来的？ 打这么多字辛苦了~~~
再答： x, x^(1/2), ...., x^(1/2^n), .... 是一列趋于1的数列，而他们的函数值不变： f（x) = f(x^(1/2))= f(x^(1/4))=....=f(x^(1/2^n))=.... 于是：f（1）=lim f(x^(1/2^n))=lim f(x) = f（X)
任给x 大于0,不等于1,f（x) = f(x^(1/2))= f(x^(1/4))=.=f(x^(1/2^n))=.
因为 x,x^(1/2),.,x^(1/2^n),.-------> 1 根据连续性,于是 f（1）=lim f(x^(1/2^n))=f(x)
所以,f(x) = f(1),对一切 x>0 成立,如果定义域包括0,显然根据连续性,f(0)也必须=f(1).
即f(x)在零到正无穷上为常数.
再问： lim f(x^(1/2^n))=f(x)是怎么得出来的？ 打这么多字辛苦了~~~
再答： x, x^(1/2), ...., x^(1/2^n), .... 是一列趋于1的数列，而他们的函数值不变： f（x) = f(x^(1/2))= f(x^(1/4))=....=f(x^(1/2^n))=.... 于是：f（1）=lim f(x^(1/2^n))=lim f(x) = f（X)
设f(x)是零到正无穷上的连续函数,且f(x)=f(x^2),x属于零到正无穷,证明f(x)在零到正无穷上为常数.
设y=f(x)在[a,正无穷]上连续,且x趋于正无穷时,f(x)存在,证明:f在[a,正无穷]上有界
连续函数性质设f(x)在[a,正无穷)上连续,取正值,且lim(x趋近无穷)f(x)=0,证明必存在x0从属[a,正无穷
设f(x)在(负无穷,正无穷)上连续,且f(x)极限存在,证明f(x)为有界函数
设f(x)在零到正无穷上单调增加,且f(0)=0证明F(x)=f(x)/x在0到正无穷上单调增加
证明函数f(x)=x+4/x在区间【2,+无穷)上为增函数,并求f(x)在区间【3,+无穷)上的最小值
设奇函数f(x)在(0,正无穷)上为增函数,且f(2)=0,则不等式[f(x)-f(-x)]/x
设奇函数f(x)在零到正无穷上为增函数,若f(-2)=0则不等式xf(x)
设f(x)在（1,+无穷）上连续,对任意的x属于（1,+无穷）有f(x)>0,且lnf(x)/lnx=-a(x趋于正无穷
设奇函数f（x)是在（0,正无穷）上为增函数且f(x)=0,则不等式f(x)-f(x)/x
关于奇偶性的问题设函数f（x）在负无穷到正无穷上满足f（2-x）=f（2+x）,f(7-x)=f(7+x) 且在闭区间【
1.函数f(x)的定义域为[0,正无穷],f(x)在[0,正无穷]上单调递增,且f(2)=0