函数f(x)是在R上的不恒为零的偶函数,且对于任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f(f(5/2)的值为

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/02 18:53:08

函数f(x)是在R上的不恒为零的偶函数,且对于任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f(f(5/2)的值为多少?

题目应该是 xf(x+1)=(x+1)f(x)
用到的是对函数性质的变换
要求f[f(5/2)] ,先求 f(5/2)
第一步变换等式或带入特殊的值来求解
xf(x+1)=(x+1)f(x)
x取特值0
0f(1)=1 f(0)
===> f(0)=0
当x不等于0时等式可以变成
f(x+1)=[（x+1）/x] f(x)
那么 f(5/2)=[(5/2）/(3/2)]f(3/2)
=5/3 f(3/2)
继续 f(3/2)=[(3/2)/(1/2)]f(1/2)
=3f(1/2)
继续 f(1/2)=[(1/2)/(-1/2)]f(-1/2)
=-f(-1/2)
f(5/2)=5/ * 3 *-f(-1/2)
====>
f(1/2)=-f(-1/2) …………（1）
第二步偶函数性质的应用
f(x)=f(-x)
那么 f(1/2)=f(-1/2) ……………（2）
由（1）（2）式可以得到,f(1/2)=f(-1/2)=0
将结果带入第一步 f(5/2)=0
那么 f[f(5/2)]=f(0)=0