函数方程求所有满足f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是任意实数)的函数.这是全部的分数了,我实在没有头绪,像是f(
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/21 08:14:41
函数方程
求所有满足f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是任意实数)的函数.
这是全部的分数了,我实在没有头绪,像是f(x+y)=f(x)+f(y)的我就会了
对了,题目要求的是连续函数。
求所有满足f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是任意实数)的函数.
这是全部的分数了,我实在没有头绪,像是f(x+y)=f(x)+f(y)的我就会了
对了,题目要求的是连续函数。
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又见面了啊,感谢你之前帮我的那道题
令g(x)=f(x)-b,则g(x+y)=g(x)+g(y),
在方程g(x+y)=g(x)+g(y)中取y=x,得g(2x)=2g(x),
下面用数学归纳法证明对一切n∈Z,x∈R,均有g(nx)=ng(x),
归纳基础已经证得,假设当n=k时有g(kx)=kg(x),
则当n=k+1时,g((k+1)x)=g(kx)+g(x)=kg(x)+g(x)=(k+1)g(x),
因此对一切n∈Z,x∈R,均有g(nx)=ng(x),
则当x=1时,有g(n)=ng(1),
设r=p/q,其中p,q∈Z,
则qg(r)=g(p)=pg(1),即g(p/q)=pg(1)/q,
故对一切r∈Q均有g(r)=rg(1),
下面结合可加性与单调性证明对于一切x∈R均有g(x)=xg(1),
若g(x)是单调递增函数,
任取实数x,根据有理数在实数中的稠密性,可以选取一列有理数{pn}递增地
趋向于x和一列有理数{qn}递减地趋向于x.根据g(x)的单调性可得
png(1)=g(pn)≤g(x)≤g(qn)=qng(1),n=1,2,3,……
在上式两边令n趋向于无穷,可得xg(1)≤g(x)≤xg(1),
同理若g(x)是单调递减函数,可得xg(1)≥g(x)≥xg(1),
故对一切x∈R均有g(x)=xg(1),
令g(1)=c,则g(x)=cx,故f(x)=g(x)+b=cx+b.
令g(x)=f(x)-b,则g(x+y)=g(x)+g(y),
在方程g(x+y)=g(x)+g(y)中取y=x,得g(2x)=2g(x),
下面用数学归纳法证明对一切n∈Z,x∈R,均有g(nx)=ng(x),
归纳基础已经证得,假设当n=k时有g(kx)=kg(x),
则当n=k+1时,g((k+1)x)=g(kx)+g(x)=kg(x)+g(x)=(k+1)g(x),
因此对一切n∈Z,x∈R,均有g(nx)=ng(x),
则当x=1时,有g(n)=ng(1),
设r=p/q,其中p,q∈Z,
则qg(r)=g(p)=pg(1),即g(p/q)=pg(1)/q,
故对一切r∈Q均有g(r)=rg(1),
下面结合可加性与单调性证明对于一切x∈R均有g(x)=xg(1),
若g(x)是单调递增函数,
任取实数x,根据有理数在实数中的稠密性,可以选取一列有理数{pn}递增地
趋向于x和一列有理数{qn}递减地趋向于x.根据g(x)的单调性可得
png(1)=g(pn)≤g(x)≤g(qn)=qng(1),n=1,2,3,……
在上式两边令n趋向于无穷,可得xg(1)≤g(x)≤xg(1),
同理若g(x)是单调递减函数,可得xg(1)≥g(x)≥xg(1),
故对一切x∈R均有g(x)=xg(1),
令g(1)=c,则g(x)=cx,故f(x)=g(x)+b=cx+b.
函数方程求所有满足f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是任意实数)的函数.这是全部的分数了,我实在没有头绪,像是f(
设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x
已知不恒为0的函数f(x)对任意实数x,y满足f(x+y)+f(x-y)=2【f(x)+f(y)],则f(x)的奇偶性是
已知函数f(x)是定义在R上的减函数,且对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1.若f(X)
函数f(x)满足对任意实数x,y都有f(x y)=f(x) f(y) 1恒成立,则A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(
已知f(x)是定义在R上的恒不为0的函数,且对任意实数x,y都满足f(x)*f(y)=f(x+y)(1)求f(0)并证明
设f(x)是R上的函数且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的
设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)求f(x)的
设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数都有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求函数f(x
设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)
设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y.有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x
设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并对任意实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x