作业帮 > 数学 > 作业

如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC上一点,且BD=1/3AB,AE=1/3AC,求证

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/04 23:11:45
如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC上一点,且BD=1/3AB,AE=1/3AC,求证∠ADE=∠EBC

如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D、E分别为AB、AC上一点,且BD=1/3AB,AE=1/3AC,求证
神题:∵△ABC为等腰直角三角形
∴AB=AC,∠A=90°,∠ABC=∠ACB=45°
∵AE=1/3AC,DB=1/3AB,
∴AD=AC,DB=AE
∴AD=2/3AB,AE=1/3AC,
∴AD=2AE,
∴∠ADE=30°,∠AED=60°
若∠ADE=∠EBC
则∠DBE=45°-30°=15°
∴∠AEB=75°
又∵∠AED=60°
∴∠DEB=15°
∴∠DBE=∠DEB
∴DB=DE=AE
∵DE为斜边不能等于AE
∴此题目为神题
证明:设AB=AC=3X,过点E作EF⊥BC于F
∵∠BAC=90,AB=AC=3X
∴∠ABC=∠C=45,BC=3√2X
∵AE=1/3AC
∴AE=X
∴CE=AC-AE=2X
∵EF⊥BC
∴CF=EF=CE/√2=√2X
∴BF=BC-CF=2√2X
∴EF/BF=1/2
∵BD=1/3AB
∴BD=X
∴AD=AB-BD=2X
∴AE/AD=1/2
∴EF/BF=AE/AD
∵∠A=∠BFE=90
∴△ADE∽△FBE
∴∠ADE=∠EBC