本小题满分12分）如图，在棱长为 a 的正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，E、F分别为棱AB和BC的中

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 13:59:39

本小题满分12分）
如图，在棱长为 a 的正方体ABCD—A₁ B₁ C₁ D₁ 中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H。
（1）求二面角B₁ —EF—B的正切值；
（2）试在棱B₁ B上找一点M，使D₁ M⊥平面EFB₁ ，并证明你的结论.

本小题满分12分）如图，在棱长为 a 的正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，E、F分别为棱AB和BC的中

（1）连AC、B₁ H，则EF//AC，

∵AC⊥BD，所以BD⊥EF。
∵B₁ B⊥平面ABCD，所以B₁ H⊥EF，
∴∠B₁ HB为二面角B₁ —EF—B的平面角。 …………2分

在

故二面角B₁ —EF—B的正切值为

     …………4分
（2）在棱B₁ B上取中点M，连D₁ M、C₁ M。
∵EF⊥平面B₁ BDD₁ ，
所以EF⊥D₁ M。                                        …………6分
在正方形BB₁ C₁ C中，因为M、F分别为BB₁ 、BC的中点，
∴B₁ F⊥C₁ M 又因为D₁ C₁ ⊥平面BCC₁ B₁ ，所以B₁ F⊥D₁ C₁ ，
所以B₁ F⊥D₁ M，
∴D₁ M⊥平面EFB₁                                      …………8分
（3）设D₁ M与平面EFB₁ 交于点N，则D₁ N为点D₁ 到平面EFB₁ 的距离。
在Rt△MB₁ D₁ 中，